/Szkoła średnia/Liczby

Zadanie nr 8686164

Dane są takie liczby całkowite a i b , że liczba a+ b jest podzielna przez 5. Wykaż, że liczba 2a2 − 3ab jest podzielna przez 5.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że

2a2 − 3ab = a(2a − 3b ) = a(2a + 2b − 5b) = 2a (a+ b )− 5ab .

Ponieważ z założenia liczba a+ b jest podzielna przez 5, więc otrzymane wyrażenie też jest podzielne przez 5.

Sposób II

Wiemy, że

a+ b = 5k

dla pewnej liczby całkowitej k . W takim razie b = 5k − a i dane wyrażenie możemy zapisać w postaci

2a2 − 3ab = a(2a− 3b) = a(2a − 3(5k − a )) = a(2a − 15k + 3a) = = a(5a− 15k) = 5a (a− 3k ).

Oczywiście jest to liczba podzielna przez 5.

Wersja PDF