/Szkoła średnia/Liczby

Zadanie nr 8875474

Dane są liczby rzeczywiste a i b takie, że a 3 = 7 i b 7 = 3 . Wykaż, ze

√ -- √ -- a3 + b3 = (a + b − 3)(a + b)(a + b + 3).
Wersja PDF

Rozwiązanie

Spróbujmy najpierw ustalić jaki jest związek między liczbami a i b .

3a = 7 ⇒ a = log 7 3 b lo-g33- --1--- 1- 7 = 3 ⇒ b = log 73 = lo g 7 = log 7 = a . 3 3

Okazuje się więc, że ab = 1 . Popatrzymy teraz na prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić

√ -- √ -- [ 2 ] (a + b − 3)(a + b)(a + b + 3) = (a + b) (a + b) − 3 = ( 2 2 ) ( 2 2 ) = (a+ b ) a + 2ab + b − 3 = (a + b) a + 2+ b − 3 = 2 2 2 2 3 3 = (a+ b )(a + b − 1) = (a+ b )(a − ab + b ) = a + b .

Po drodze skorzystaliśmy oczywiście ze wzorów skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, kwadrat sumy i sumę sześcianów.

Wersja PDF