Zadanie nr 1946283

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których suma odwrotności pierwiastków równania

--3---= -1 − --8-−-2m---- x + 3 m x 2 + 2x − 3

jest równa 5 m−-3 .

Rozwiązanie

Oczywiście musi być x ⁄= − 3,m ⁄= 0 i m ⁄= 3 . Sprawdźmy jeszcze kiedy zeruje się trójmian w mianowniku.

2 x + 2x − 3 = 0 Δ = 4+ 12 = 16 x = −-2−-4-= − 3 ∨ x = −-2+--4 = 1. 2 2

Musimy więc dodatkowo założyć, że x ⁄= 1 . Przy okazji okazało się również, że

x 2 + 2x − 3 = (x− 1)(x + 3),

co pozwala dość łatwo pozbyć się ułamków w równaniu.

--3---= 1-− ----8−--2m----- / ⋅m (x− 1)(x + 3) x + 3 m (x − 1)(x + 3) 2 3m (x − 1) = x + 2x − 3 − (8 − 2m )m 0 = x2 + x(2 − 3m ) + (2m 2 − 5m − 3).

Otrzymaliśmy więc zwykłe równanie kwadratowe z parametrem. Sprawdźmy, kiedy równanie to ma pierwiastki.

2 2 0 ≤ Δ = (2− 3m ) − 4(2m − 5m − 3) = = 4− 12m + 9m2 − 8m 2 + 20m + 12 = 2 2 = m + 8m + 16 = (m + 4) .

Równanie ma więc zawsze pierwiastki i możemy skorzystać ze wzorów Viète’a.

---5-- 1-- -1- x1-+-x2- -−-(2-−-3m-)-- m − 3 = x1 + x2 = x 1x2 = 2m 2 − 5m − 3 5 3m − 2 ------ = ---2----------. m − 3 2m − 5m − 3

Zanim rozwiążemy to równanie, bądźmy ostrożni i sprawdźmy, jakie są miejsca zerowe mianownika.

2 2m − 5m − 3 = 0 Δ = 25 + 24 = 4 9 m = 5-−-7-= − 1- ∨ m = 5+--7-= 3. 4 2 4

Zakładamy więc dodatkowo, że 1 m ⁄= − 2 . Przy okazji okazało się, że

( ) 2m 2 − 5m − 3 = 2 m + 1- (m − 3) = (2m + 1)(m − 3), 2

co pozwala łatwo uprościć równanie

--5--- = -----3m--−-2----- /⋅ (2m + 1)(m − 3) m − 3 (2m + 1)(m − 3) 10m + 5 = 3m − 2 7m = − 7 m = − 1.

Na koniec sprawdźmy, czy otrzymana wartość spełnia wszystkie poczynione wcześniej założenia. Wprawdzie nigdzie nie założyliśmy, że m ⁄= − 1 , ale założyliśmy, że x ⁄= − 3 i x ⁄= 1 . Sprawdźmy więc, czy rozwiązaniem równania dla m = − 1 nie jest jedna z tych liczb. Równanie kwadratowe dla przyjmuje postać