Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3781530

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb. Krótsza przekątna rombu tworzy z krawędzią podstawy kąt 60∘ i ma długość  √ -- 4 3 . Dłuższa przekątna graniastosłupa tworzy z dłuższą przekątną rombu kąt 6 0∘ . Oblicz objętość graniastosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku


PIC


Wyznaczamy wysokość podstawy

sin60 ∘ = -√h-- 4 3 √ 3- √ -- h = ----⋅4 3 = 6. 2

Zauważmy, że ponieważ  ∘ ∡CBA = 6 0 , więc trójkąt CAB jest równoboczny. Zatem

 √ -- |AB | = 4 3.

Policzmy pole rombu

 √ -- √ -- Pp = 4 3⋅ 6 = 24 3.

Z drugiej strony pole rombu możemy również policzyć z połowy iloczynu przekątnych. Stąd

 |CB |⋅|AD | Pp = ------------ √2-- 24√ 3 = 4--3-⋅|AD-|- ⇒ |AD | = 12. 2

Za pomocą funkcji trygonometrycznej wyznaczamy wysokość graniastosłupa

 ∘ --H--- tg60 = |AD | √ -- H = 12 3.

Teraz już łatwo policzyć objętość

 √ -- √ -- V = Pp ⋅H = 24 3 ⋅12 3 = 864.

 
Odpowiedź: V = 864

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!