Zadanie nr 4509686
Każda ściana graniastosłupa jest rombem o boku długości i kącie ostrym o mierze
. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
Próbujemy narysować taki graniastosłup – możemy myśleć o nim jak o zdeformowanym sześcianie: zgniatamy go najpierw przesuwając krawędzie
do siebie tak, aby w podstawach otrzymać romby, a potem przesuwamy górną podstawę
wzdłuż przekątnej
, tak żeby w ścianach bocznych otrzymać romby.
Sytuacja może wyglądać na skomplikowaną, ale tak nie jest – na szczęście romb o kącie ostrym to bardzo specjalna figura – składa się on z dwóch trójkątów równobocznych o boku długości
. W szczególności wszystkie krótsze przekątne ścian bocznych mają długość
. To na przykład oznacza, że wszystkie krawędzie czworościanu
mają długość
. Jest to więc czworościan foremny. Obliczmy długość wysokości
tego czworościanu – jest to jednocześnie wysokość całego graniastosłupa.
![( √ -) 2 2 2 ES 2 = AE 2 − AS 2 = a2 − 2⋅ a--3- = a2 − 3a--= 6a-- 3 2 9 9 ∘ ---- √ -- 6a2- a--6- ES = 9 = 3 .](https://img.zadania.info/zad/4509686/HzadR11x.png)
Objętość graniastosłupa jest więc równa
![√ -- √ -- √ -- a2 3 a 6 a3 2 V = PABCD ⋅ES = 2PABD ⋅ES = 2 ⋅------⋅ -----= -----. 4 3 2](https://img.zadania.info/zad/4509686/HzadR12x.png)
Odpowiedź: