Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1852946

Trójkąt o bokach 3, 5, 7 jest podstawą graniastosłupa prostego, w który wpisano kulę. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Przede wszystkim musimy sobie dobrze wyobrazić opisaną sytuację (rysunek).


PIC


Intuicyjnie powinno być jasne, że informacja o tym, że w graniastosłup jest wpisana kula, daje nam informację o wysokości tego graniastosłupa. Dokładniej rzecz biorąc, rozmiar tej kuli jest wyznaczony przez ściany boczne (a więc tak naprawdę przez trójkąt w podstawie), a wysokość graniastosłupa to średnica kuli. Zastanówmy się jeszcze jak dokładnie trójkąt w podstawie wyznacza rozmiar kuli. Jeżeli zrzutujemy tę kulę na płaszczyznę podstawy, lub przetniemy ten graniastosłup poziomą płaszczyzną na poziomie punktów styczności z kulą, to staje się jasne, że promień r kuli to dokładnie promień okręgu wpisanego w trójkąt w podstawie.

Po tej dokładnej analizie rozwiązanie jest już proste. Pole podstawy liczymy ze wzoru Herona  ∘ ----------------------- P = p (p− a)(p − b)(p − c) , gdzie p = 1(a + b + c) = 15 2 2 . Wysokość (czyli 2r ) obliczymy ze wzoru na pole P = pr . Liczymy

 ------------- ∘ 15 9 5 1 15 √ 3- P = ---⋅--⋅--⋅--= ------. 2 2 2 2 4

Liczymy teraz r .

 P = pr √ -- √ -- 15 3 15 3 --4---= 2--⋅r ⇒ r = -2--.

Liczymy objętość

 √ -- 15 3 √ -- 45 V = P ⋅2r = ------⋅ 3 = ---. 4 4

 
Odpowiedź: 45 4

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!