Zadanie nr 6107689
Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny wpisany w okrąg o środku i promieniu . Dłuższa podstawa trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza ma długość (zobacz rysunek). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze . Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia , długości podstawy i miary kąta .
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że trójkąt jest prostokątny – tak jest, bo kąt jest oparty na średnicy.
Dorysujmy wysokości i trapezu. Mamy zatem
Ponadto, trójkąt prostokątny jest podobny do trójkąta (bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku ). Z tego podobieństwa mamy
To pozwala obliczyć wysokość graniastosłupa – patrzymy na trójkąt prostokątny .
Musimy jeszcze obliczyć pole trapezu w podstawie graniastosłupa – do tego potrzebna nam będzie długość wysokości . Patrzymy na trójkąt prostokątny .
Pole trapezu jest więc równe
Objętość graniastosłupa jest więc równa
Odpowiedź: