Zadanie nr 9072314
Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny wpisany w okrąg o środku i promieniu . Dłuższa podstawa trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze . Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia i miary kąta .
Rozwiązanie
Zacznijmy od obliczenia długości boków trapezu.
Wiemy, że jest średnicą opisanego na nim okręgu. Na mocy twierdzenia o kątach środkowym i wpisanym,
więc na mocy twierdzenia sinusów w trójkącie mamy
Łatwo też obliczyć wysokość trapezu – patrzymy na trójkąt prostokątny .
W tym miejscu możemy już obliczyć pole trapezu .
Do obliczenia objętości graniastosłupa potrzebna nam jeszcze jego wysokość, a do jej obliczenia będzie nam potrzebna długość ramienia trapezu. Obliczymy tą długość na dwa różne sposoby.
Sposób I
Raz jeszcze korzystamy z twierdzenia o kątach środkowym i wpisanym i mamy
Stosujemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie .
Obliczamy teraz wysokość graniastosłupa – patrzymy na trójkąt prostokątny .
Objętość graniastosłupa jest więc równa
Sposób II
Tym razem popatrzmy na trójkąt równoramienny i piszemy w nim twierdzenie cosinusów.
Obliczamy teraz wysokość graniastosłupa – patrzymy na trójkąt prostokątny .
Objętość graniastosłupa jest więc równa
Odpowiedź: