/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2013

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 20 kwietnia 2013 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Liczba √ --3 (1 − 2) jest równa
A) √ -- 7 − 5 2 B) √ -- 7− 2 C) 1 − √ 8- D) − 5+ √ 2-

Zadanie 2

(1 pkt)

Liczba ∘4 -√-----√----- 4∘ -√-----√----- 3∘ -√-----√----- ( 5− 2)4 − ( 2− 7)4 + ( 5 − 7)3 jest równa
A) √ -- √ -- 2 5 − 2 2 B) √ -- √ -- 2 7− 2 2 C) √ -- √ -- 2 5 − 2 7 D) √ -- √ -- 2 7 − 2 5

Zadanie 3

(1 pkt)

Liczba log1,52,25 − log0,2516 jest równa
A) B) 4 C) − 52 D) 0

Zadanie 4

(1 pkt)

Marża równa 0,5% kwoty pożyczonego kapitału była równa 2 000 zł. Wynika stąd, że pożyczono
A) 4 000 zł B) 40 000 zł C) 200 000 zł D) 400 000 zł

Zadanie 5

(1 pkt)

Wskaż zbiór, w którym funkcja f (x) = x−−34 jest rosnąca.
A) R ∖ {− 4} B) R ∖ {4} C) (− ∞ ,4) D) (3,+ ∞ )

Zadanie 6

(1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |2x+ 5| ≤ 1 .

Zadanie 7

(1 pkt)

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej y = − 5(x + 3)(x − 5) są
A) x = 3,x = − 5 B) x = − 3,x = − 5 C) x = 3,x = 5 D) x = − 3,x = 5

Zadanie 8

(1 pkt)

Jeden kąt trójkąta ma miarę 102∘ . Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest 5 razy większy od drugiego. Miary pozostałych kątów są równe
A) ∘ 12 i ∘ 6 0 B) ∘ 13 i ∘ 65 C) ∘ 14 i ∘ 70 D) ∘ 15 i ∘ 7 5

Zadanie 9

(1 pkt)

Suma kwadratów długości trzech boków trójkąta prostokątnego jest równa 98. Zatem przeciwprostokątna ma długość:
A) 49 B) -- 7 √ 2 C) 7 D) 9

Zadanie 10

(1 pkt)

Wielomian W (x) = x8 + 6x6 − x2 − 6 jest równy iloczynowi
A) 6 2 (x + 1)(x − 6) B) 6 2 (x − 1 )(x − 6) C) 6 2 (x + 1)(x + 6) D) (x6 − 1)(x 2 + 6 )

Zadanie 11

(1 pkt)

Pięciokąt ABCDE jest foremny. Wskaż trójkąt podobny do trójkąta ECD

A) △ABG B) △ACE C) △F BG D) △CBG

Zadanie 12

(1 pkt)

W prostokącie ABCD dane są |AC | = 12 oraz |AD | = 6 . Wówczas cosinus kąta BDC jest równy
A) √ -- 3 B) 1 2 C) √ 3 -3- D) √ - --3 2

Zadanie 13

(1 pkt)

Równanie x2−2-3x−10-= 0 x+ 3x−10
A) nie ma rozwiązań
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie
C) ma dokładnie dwa rozwiązania
D) ma dokładnie trzy rozwiązania

Zadanie 14

(1 pkt)

Suma 7 + 12 + 17 + ⋅⋅⋅+ 137 kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa
A) 3888 B) 1944 C) 2016 D) 1800

Zadanie 15

(1 pkt)

Obwód kwadratu wpisanego w okrąg o długości jest równy
A) √ -- 12 2 B) √ -- 3 2 C) √122 D) √ -- 6 2

Zadanie 16

(1 pkt)

Ciąg √ -- √ -- (5,a,a 2,1 0 2) jest geometryczny. Wówczas
A) √ -- a = 2 B) √ -- a = 5 + 2 2 C) √ -- a = 5 − 2 2 D) √ -- a = 5 2

Zadanie 17

(1 pkt)

Kąt między cięciwą a styczną do okręgu w punkcie (zobacz rysunek) ma miarę α = 58 ∘ . Wówczas

A) β = 58∘ B) β = 87∘ C) β = 116∘ D) β = 118∘

Zadanie 18

(1 pkt)

Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji liniowej .

Funkcja ta może być określona wzorem
A) √ -- y = 2x+ 1 B) √ -- y = − 2x + 1 C) y = 1√-x + 1 2 D) y = − 1√-x + 1 2

Zadanie 19

(1 pkt)

Który z narysowanych trójkątów jest podobny do trójkąta, w którym miary dwóch kątów wynoszą 60 ∘ i 65∘ ?

Zadanie 20

(1 pkt)

Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe 9. Objętość tego sześcianu jest równa
A) 9 B) 27 C) 54 D) 81

Zadanie 21

(1 pkt)

Zdarzenia losowe i są rozłączne oraz P (B) = 0,4 6 . Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia może być równe
A) 0,63 B) 0,53 C) 0,73 D) 1

Zadanie 22

(1 pkt)

Objętość stożka wynosi 16 π cm 3 . Wysokość stożka jest 6 razy większa od promienia podstawy. Zatem pole powierzchni podstawy tego stożka jest równe
A) 2π cm 2 B) 4π cm 2 C) 8π cm 2 D) 12π cm 2

Zadanie 23

(1 pkt)

Okrąg o równaniu (x + 3)2 + (y − 1)2 = m 2 przechodzi przez punkt o współrzędnych (−4 ,−1 ) . Wtedy liczba może być równa
A) 25 B) 5 C) √ -- − 5 D) − 5

Zadania otwarte

Zadanie 24

(2 pkt)

Dane są funkcje f (x) = x2 − 4x i g (x) = 12 − 5x . Rozwiąż nierówność f(x − 2) < g (x − 2) .

Zadanie 25

(2 pkt)

Rozwiąż równanie x 5 − 9x 3 − x 2 + 9 = 0 .

Zadanie 26

(2 pkt)

Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają nierówności 0 < a < b < c , to

√3---- √ --- abc > ab.

Zadanie 27

(2 pkt)

Ze zbioru liczb {1 ,2,3,4,5,6,7,8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia , polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 8.

Zadanie 28

(2 pkt)

W trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC | = |BC | = 12 i sin ∡α = 34 (zobacz rysunek). Oblicz wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka na bok .

Zadanie 29

(2 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli jest wysokością trójkąta prostokątnego ABC , w którym ∘ ∡ACB = 9 0 to |AD |⋅|DB | = |CD |2 .

Zadanie 30

(2 pkt)

Ciąg geometryczny (an) , gdzie n ≥ 1 spełnia warunek an+2 = 4an +1 − 4an dla n ≥ 1 . Uzasadnij, że ciąg ten spełnia też warunek an+3 = 12an +1 − 16an dla n ≥ 1 .

Zadanie 31

(4 pkt)

Ciąg (an) , gdzie n ⁄= 1 jest ciągiem arytmetycznym w którym a 29 = 7 . Oblicz S 38 − S19 , gdzie oznacza sumę początkowych wyrazów ciągu (an) .

Zadanie 32

(4 pkt)

Punkty i są środkami krawędzi i sześcianu ABCDEF GH o krawędzi długości 1. Punkt jest środkiem ściany EF GH (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM .