/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2013

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 20 kwietnia 2013 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(6 pkt)

Proste i są równoległe do osi i przecinają wykres funkcji 4-- y = − |x| odpowiednio w punktach A ,B i D ,C w ten sposób, że czworokąt ABCD jest trapezem o polu 6 i wysokości 2. Oblicz obwód trapezu ABCD .

Zadanie 2

(4 pkt)

W skończonym ciągu geometrycznym (an) wyraz pierwszy jest równy 2, a wyraz ostatni 39 366. Wiedząc, że suma wszystkich wyrazów wynosi 59 048, oblicz iloraz tego ciągu.

Zadanie 3

(4 pkt)

Rozwiąż układ równań { 3 3 x(3y − 2y) − y(3x − 2x ) = 0 x4 + y4 = x2 + y2.

Zadanie 4

(4 pkt)

Na bokach AB , AD i rombu ABCD wybrano odpowiednio punkty K,L i w ten sposób, że odcinki i są równoległe do przekątnych rombu. Wykaż, że odcinek przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych rombu.

Zadanie 5

(5 pkt)

Rozwiąż równanie 2 cosx cos 2x+ 3sin 2x = 4 cosx .

Zadanie 6

(4 pkt)

Dane są liczby wymierne a ⁄= 0, b i k > 0 takie, że liczby √ -- x1 = 1 − k i √ -- x2 = 1+ k są pierwiastkami równania ax 3 + bx2 + cx+ d = 0 . Wykaż, że i są liczbami wymiernymi.

Zadanie 7

(4 pkt)

W trójkącie ABC środkowa jest prostopadła do boku oraz |AB | = 2|AC | . Oblicz miarę kąta BAC .

Zadanie 8

(5 pkt)

W układzie współrzędnych dany jest punkt A = (9,4) . Na okręgu o równaniu 2 2 (x − 1) + (y − 2) = 1 7 wyznacz współrzędne punktu , dla którego odległość |AB | jest największa.