/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2013

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 10 maja 2013 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |2x − 5|− |x+ 4| ≤ 2− 2x .

Zadanie 2
(4 pkt)

Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r . Wykaż, że 4r2 = |AB |⋅|CD | .

Zadanie 3
(3 pkt)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5.

Zadanie 4
(4 pkt)

Rozwiąż równanie cos2x + co sx + 1 = 0 dla x ∈ ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 5
(5 pkt)

Ciąg liczbowy (a,b,c) jest arytmetyczny i a+ b+ c = 33 , natomiast ciąg (a− 1,b+ 5,c+ 1 9) jest geometryczny. Oblicz a,b,c .

Zadanie 6
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x2 + 2(1 − m )x + m 2 − m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x2 spełniające warunek x ⋅x ≤ 6m ≤ x 2+ x 2 1 2 1 2 .

Zadanie 7
(4 pkt)

Prosta o równaniu 3x − 4y − 36 = 0 przecina okrąg o środku S = (3,12) w punktach A i B . Długość odcinka AB jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 8
(4 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu 3 2 W (x) = 4x − 5x − 23x + m przez dwumian x + 1 jest równa 20. Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu.

Zadanie 9
(5 pkt)

Dany jest trójkąt ABC , w którym |AC | = 17 i |BC | = 1 0 . Na boku AB leży punkt D taki, że |AD | : |DB | = 3 : 4 oraz |DC | = 10 . Oblicz pole trójkąta ABC .

Zadanie 10
(4 pkt)

W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a . Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od ściany BCS jest równa d . Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 11
(4 pkt)

Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy 60 .

Zadanie 12
(3 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej f określonej wzorem f(x ) = lo g2(x − p) .

PIC

  • Podaj wartość p .
  • Narysuj wykres funkcji określonej wzorem y = |f(x )| .
  • Podaj wszystkie wartości parametru m , dla których równanie |f(x)| = m ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania