/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2013

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 13 kwietnia 2013 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba ∘ --------- 3( 1)− 1 −3 − 8 ⋅16 4 jest równa
A) − 1 8 B) − 1 2 C) − 1 4 D) 1 4

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczbami spełniającymi równanie |2x − 5| = 3 są
A) 1 i − 8 B) 1 i 4 C) − 8 i 4 D) − 1 i 4

Zadanie 3
(1 pkt)

Różnica lo g√3 13− lo g√3 117 jest równa
A) 4 B) 1 4 C) − 4 D) − 14

Zadanie 4
(1 pkt)

Wartość wyrażenia √ ---- √ --- √ ---2 (2 1 75− 63− 4 28) jest równa
A) 7 B) − 7 C) 28 D) 14

Zadanie 5
(1 pkt)

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem y = −x 2 − 4x − 4 jest punkt o współrzędnych
A) (0,2) B) (0,− 2) C) (− 2,0) D) (2,0)

Zadanie 6
(1 pkt)

Liczby x1,x2,x 3 są rozwiązaniami równania 2x 3 + 5x 2 − 3x = 0 . Suma x1 + x2 + x3 jest równa
A) − 3 2 B) − 5 2 C) − 3 4 D) 5 − 4

Zadanie 7
(1 pkt)

Pierwsza rata, która stanowi 10% ceny aparatu, jest o 19 zł niższa od drugiej raty, która stanowi 15% ceny aparatu. Aparat kosztuje
A) 380 zł B) 38 zł C) 420 zł D) 360 zł

Zadanie 8
(1 pkt)

Do wykresu funkcji y = ax+ b należą punkty (− 999,1000 ) oraz (1 001,1002) . Wówczas
A) b < 0 B) a < 0 C) b = 0 D) a > 0

Zadanie 9
(1 pkt)

Dane są dwa okręgi o promieniach 12 i 17. Większy okrąg przechodzi przez środek mniejszego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa
A) 5 B) 12 C) 17 D) 29

Zadanie 10
(1 pkt)

Liczba ∘ ∘ ∘ ∘ tg 45 ⋅tg60 − sin 30 + cos 45 jest równa
A) √ - √ - 2--3−1+--2 2 B) √ - √ - 2--3−3+3--2 6 C) √ 3+√ 2 ---2--- D) 2√3+√ 2 ---2----

Zadanie 11
(1 pkt)

Kąty wewnętrzne przy wierzchołkach B i D trapezu ABCD są równe odpowiednio ∘ 60 i ∘ 1 10 . Wówczas przedłużenia ramion AD i BC przecinają się pod kątem
A) 30∘ B) 4 0∘ C) 50∘ D) ∘ 60

Zadanie 12
(1 pkt)

Punkt A ma współrzędne (− 3,2013) . Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi Oy , a punkt C jest symetryczny do punktu B względem osi Ox . Punkt C ma współrzędne
A) (3,20 13) B) (3,− 2013 ) C) (− 2013,− 3) D) (− 2013,3)

Zadanie 13
(1 pkt)

Środek S okręgu o równaniu x2 + y2 + 10x − 6y + 29 = 0 ma współrzędne
A) ( 5 3) S = − 2,2 B) S = (5,− 3) C) S = (− 5,3 ) D) ( ) S = 52,− 32

Zadanie 14
(1 pkt)

Odcinki AB i CD są równoległe (zobacz rysunek). Długość odcinka BD jest równa

PIC

A) 72 B) 212 C) 3 D) 2

Zadanie 15
(1 pkt)

Pole prostokąta przedstawionego na rysunku jest równe 18. Zatem

PIC

A) sin α = √25- B) cos α = √15 C) √1- sin α = 5 D) 6 tgα = 3

Zadanie 16
(1 pkt)

Miara kąta α wynosi

PIC

A) 30∘ B) 4 0∘ C) 50∘ D) 60∘

Zadanie 17
(1 pkt)

Wiadomo, że wykres funkcji f(x) = xa+x+a7- nie ma punktów wspólnych z prostą x = − 12 . Wówczas
A) a = 14 B) a = − 14 C) 1 a = 2 D) 1 a = − 2

Zadanie 18
(1 pkt)

Dany jest ciąg (a ) n , w którym n an = (−1 ) ⋅(n − 1 ), n ∈ N + . Jeśli k jest liczbą naturalną parzystą, to:
A) ak+1 = −k B) ak+ 1 = k C) ak+1 = k− 2 D) ak+ 1 = −k + 2

Zadanie 19
(1 pkt)

Dwa kolejne wyrazy ciągu geometrycznego (an) są równe 4 i 24. Wyrazem tego ciągu może być liczba
A) 96 B) 108 C) 4 3 D) 23

Zadanie 20
(1 pkt)

Ze zbioru liczb 3, 4, 1, 5, 1, 3, 1 usunięto jedną liczbę w ten sposób, że mediana tego zbioru liczb nie uległa zmianie. Usunięta liczba to
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5

Zadanie 21
(1 pkt)

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku a . Jeżeli r oznacza promień podstawy stożka, h oznacza wysokość, to
A) r2 + a2 = h2 B) √- r+ h = a+ -3a 2 C) r− h = a D) 1+√-3 r+ h = 2 a

Zadanie 22
(1 pkt)

Losujemy jedną liczbę czterocyfrową. Prawdopodobieństwo p otrzymania liczby, której cyfry to 1,1,2,2 (w dowolnej kolejności) spełnia warunek
A) p < 10−4 B) p = 10− 4 C) p < 10−3 D) p = 10 −3

Zadania otwarte

Zadanie 23
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność x 2 − 18x + 81 < 0 .

Zadanie 24
(2 pkt)

Rozwiąż równanie x 4 − 5x 2 = 5− x2 .

Zadanie 25
(2 pkt)

W trójkącie ostrokątnym ABC proste AH i BH zawierają wysokości poprowadzone z wierzchołków A i B . Uzasadnij, że kąt AHB jest rozwarty.

Zadanie 26
(2 pkt)

Dane są liczby wymierne a,b,c takie, że równanie ax2 + bx + c = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste. Uzasadnij, że jeżeli jeden z pierwiastków tego równania jest liczbą wymierną to drugi pierwiastek też jest liczbą wymierną.

Zadanie 27
(2 pkt)

Suma Sn = a1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + an początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem Sn = 2n 2 dla n ≥ 1 . Wyznacz wzór na n -ty wyraz tego ciągu.

Zadanie 28
(4 pkt)

Kwadrat ABCD jest wpisany w okrąg o równaniu (x− 4)2 + (y− 4)2 = 10 oraz A = (3,1) . Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną BD tego kwadratu.

Zadanie 29
(4 pkt)

W deltoidzie ABCD dane są ∘ -------- |AB | = 2 ,|BC | = 2 2− √ 3,|∡BAD | = 30 ∘ i |∡ABC | = 135∘ (zobacz rysunek). Oblicz pole tego deltoidu.

PIC

Zadanie 30
(5 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH , w którym |AB | = 3 (patrz rysunek). Oblicz odległość wierzchołka A od przekątnej EC .

PIC

Zadanie 31
(5 pkt)

Dwa samochody odbyły podróż z miejscowości A do odległej o 252 km miejscowości B . Średnia prędkość samochodu osobowego na tej trasie była o 24 km/h większa od średniej prędkości samochodu ciężarowego. Oblicz ile czasu zajęła podróż samochodowi osobowemu jeżeli pokonał on tę trasę w czasie o 72 minuty krótszym niż samochód ciężarowy.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania