/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2013

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 4 czerwca 2013 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

Rozwiąż nierówność √ ------------ √ ------------ x 2 + 4x + 4 ≥ 11 − x2 − 6x + 9 .

Zadanie 2
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie (m + 1)x2 − 3mx + m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż 2,5.

Zadanie 3
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 tgx ⋅co sx + 1 = 2 cosx + tg x w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 4
(4 pkt)

Wykaż, że prawdziwa jest równość 3∘ ----√---- ∘3----√---- 9 + 80 + 9 − 8 0 = 3 .

Zadanie 5
(3 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli 2a + b ≥ 0 , to 2a3 + b3 ≥ 3a2b .

Zadanie 6
(5 pkt)

W równoległoboku ABCD miara kąta ostrego jest równa 30∘ , a odległości punktu przecięcia się przekątnych od sąsiednich boków równoległoboku są równe 2 i √ -- 3 . Oblicz długość krótszej przekątnej tego równoległoboku.

Zadanie 7
(4 pkt)

Punkty A = (2,0) i B = (4,2) leżą na okręgu o równaniu 2 2 (x − 1 ) + (y − 3) = 10 . Wyznacz na tym okręgu taki punkt C , aby trójkąt ABC był trójkątem równoramiennym o podstawie AB .

Zadanie 8
(3 pkt)

Wykaż, że dla dowolnego kąta α prawdziwa jest tożsamość 2 sin4α + co s4α = 1+-co2s2α- .

Zadanie 9
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt ABC . Kąt nachylenia krawędzi bocznej AS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa jest równy kątowi między krawędziami bocznymi AS i BS zawartymi w ścianie bocznej ASB tego ostrosłupa (zob. rysunek). Oblicz kosinus tego kąta.

PIC

Zadanie 10
(4 pkt)

Liczby a1,a2,...,an są dodatnie i w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że prawdziwa jest równość √ ------------ √ ------ n a1 ⋅ a2⋅⋅⋅an = a1 ⋅an .

Zadanie 11
(4 pkt)

Suma długości dwóch boków trójkąta równa się 4, a kąt między tymi bokami ma miarę ∘ 120 . Oblicz najmniejszą wartość sumy kwadratów długości wszystkich boków tego trójkąta.

Zadanie 12
(4 pkt)

Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby 1, 3, 5. Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej tego wielomianu jest równy 1 2 . Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez 24.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania