/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2013

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (OKE Poznań)
poziom rozszerzony 4 stycznia 2013 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) = x 2013 − 2x2012 + 2x2011 − 1 przez wielomian G (x) = x 3 − x .

Zadanie 2
(4 pkt)

Rozwiąż równanie ||x− 1|− |3 − x|| = 2 .

Zadanie 3
(6 pkt)

Oblicz współrzędne środka S i skalę k jednokładności, w której obrazem odcinka PR jest odcinek P 1R 1 i wiadomo, że P = (− 2,1) , R1 = (3 ,1) , −→ SP 1 = [3,9 ] i −→ SR = [2,1] .

Zadanie 4
(4 pkt)

Długość boku rombu ABCD jest średnią geometryczną długości jego przekątnych. Oblicz miarę kąta ostrego tego rombu.

Zadanie 5
(4 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n większej od 1 prawdziwa jest nierówność

( ) ( ) 2n > 2 ⋅ n . 2 1

Zadanie 6
(5 pkt)

Rozwiąż równanie lo gsinx cosx + log cosx sin x = 2 .

Zadanie 7
(4 pkt)

Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe P = 2R 2 ⋅sin α ⋅sinβ ⋅sin γ , gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie, a α,β i γ są miarami kątów wewnętrznych tego trójkąta.

Zadanie 8
(5 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) , dla n ≥ 1 , dane są a 1 = − 4 oraz różnica r = 4 . Wyznacz największe n takie, że a + a + ⋅⋅⋅+ a < 2013 1 2 n .

Zadanie 9
(4 pkt)

Naszkicuj wykres i wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem f (x) = − 2x − |3x−6| x− 2 .

Zadanie 10
(5 pkt)

Długości wszystkich krawędzi ostrosłupa czworokątnego prawidłowego są równe a . Przez wierzchołek ostrosłupa i środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy poprowadzono płaszczyznę . Wyznacz sinus kąta nachylenia wyznaczonego przekroju do podstawy ostrosłupa.

Zadanie 11
(5 pkt)

Do koszyka włożono 12 jabłek, w tym dwa jabłka lobo. Po kilku dniach przechowywania z koszyka usunięto dwa popsute jabłka. Następnie losowo wybrano jedno jabłko. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrano jabłko lobo. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania