/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2013

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 13 kwietnia 2013 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie

2 2 (log 3x) − log3x = m

ma dwa rozwiązania należące do przedziału ⟨1,+ ∞ ) .

Zadanie 2
(4 pkt)

Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta to 2 2 1 2 a + b > 2c .

Zadanie 3
(4 pkt)

Wielomiany P (x) = (x2 + qx + p )(x− q) i R(x ) = x3 + (p− 2q)x + (q2 − 2p2) są równe. Oblicz p i q .

Zadanie 4
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie liczby naturalne dodatnie k , dla których równanie x2 + x+ 1 = k2 ma pierwiastki będące liczbami całkowitymi.

Zadanie 5
(5 pkt)

Rozwiąż równanie 8 sin3x = 8sin3x cos 2x + 1 − cos 2x w przedziale ⟨0 ,2 π⟩ .

Zadanie 6
(6 pkt)

Trzy liczby o sumie 7 tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy pierwszą to ciąg zmieni się w arytmetyczny. Wyznacz pierwszą z tych liczb. Uwzględnij wszystkie możliwości.

Zadanie 7
(5 pkt)

Do okręgów o równaniach 2 2 29 x + 7x + y + 5y + 2 = 0 i 2 2 13 x − x + y − 3y − 2 = 0 poprowadzono wspólną styczną. Oblicz długość odcinka łączącego punkty styczności. Rozważ wszystkie możliwości.

Zadanie 8
(4 pkt)

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD punkt O jest punktem wspólnym przekątnych. Oblicz pole trapezu wiedząc, że pole trójkąta ABO jest równe 5, a pole trójkąta CDO jest równe 4.

Zadanie 9
(4 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo P (A′ ∪ B′) , jeśli P(A ′) = 14, P(B ′) = 12 i P(A ∪ B ) = 1 .

Zadanie 10
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o obwodzie 6. Krawędź DS jest wysokością ostrosłupa i jest 3 razy dłuższa od krawędzi DA . Jakie największe pole może mieć przekrój ostrosłupa płaszczyzną wyznaczoną przez wierzchołki C ,D i środek krawędzi AS ?

Zadanie 11
(5 pkt)

Ile jest permutacji zbioru {a ,A ,b ,B,c,C ,d ,D } takich, w których mała litera stoi przed dużą (niekoniecznie obok) np. acdDbBAC ?

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania