/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2013

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 27 kwietnia 2013 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Dla jakich wartości parametru m ∈ R wierzchołek paraboli 2 y = x − 2(m − 1)x − m leży najbliżej osi Ox .

Zadanie 2
(6 pkt)

Rozwiąż równanie 8|sin x| = |x+ 20|+ |x + 28 | .

Zadanie 3
(5 pkt)

Wykaż, że jeżeli kąty α ,β ,γ trójkąta ABC spełniają warunek 1−cosγ- co sα = 2cosβ to trójkąt jest równoramienny.

Zadanie 4
(4 pkt)

Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie a i b spełniają warunek

∘ -- a-= b-+-3a-, b a + 3b

to a = b .

Zadanie 5
(5 pkt)

Wyznacz trzywyrazowy ciąg geometryczny, w którym suma trzech kolejnych wyrazów jest równa 84, a ich iloczyn jest równy 13824.

Zadanie 6
(4 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:

x 4 − x 3 + 3x 2 − 2x + 2 > 0.

Zadanie 7
(6 pkt)

Wyznacz równanie okręgu o promieniu 75 , który przechodzi przez punkty wspólne okręgów o równaniach x2 − 4x + y2 + 2y + 4 = 0 i x2 − 4x+ y2 + 12y + 19 = 0 .

Zadanie 8
(5 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | = b i |AB | = a . Punkty M i N są rzutami prostopadłymi środka podstawy AB trójkąta na ramiona BC i AC . Wyraź pole czworokąta ABMN za pomocą a i b .

Zadanie 9
(6 pkt)

Z pudełka, w którym jest 15 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 15, losujemy bez zwracania 5 kul. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul jest dokładnie jedna para kul z sumą numerów równą 16.

Zadanie 10
(5 pkt)

Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Dla jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa będzie największe?

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania