/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Równoległobok/Oblicz długość

Zadanie nr 2895060

Dany jest równoległobok, którego obwód jest równy 50 cm. Stosunek długości jego wysokości wynosi 2:3, a stosunek miar jego kątów wewnętrznych jest równy 1:2. Oblicz długości boków i wysokości tego równoległoboku.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Suma dwóch różnych kątów równoległoboku jest równa ∘ 180 , więc jeżeli ich stosunek wynosi 1:2 to są one równe

1-⋅18 0∘ = 60∘ 3 2- ∘ ∘ 3 ⋅18 0 = 120 .

Naszkicujmy teraz sobie ten równoległobok.

PIC

Skoro stosunek długości wysokości równoległoboku jest równy 2:3, możemy oznaczyć ich długości przez 2h i 3h . Z trójkątów AED i F CD mamy

√ -- 2h ∘ 3 4h ---= sin60 = ---- ⇒ a = √--- a √2-- 3 3h ∘ 3 6h -b-= sin60 = -2-- ⇒ b = √--. 3

Teraz korzystamy z podanego obwodu

2a+ 2b = 50 a+ b = 25 4h 6h √---+ √---= 25 3 3 √ -- √ -- 10h 25 3 5 3 √---= 25 ⇒ h = ------= -----. 3 10 2

Zatem wysokości mają długości

√ -- 2h = 5 √3-- 15 3 3h = -----. 2

Długości boków są równe

a = √4h--= 10 3 6h b = √---= 15. 3

 
Odpowiedź: Wysokości: √ -- √- 5 3 cm , 1523-cm , boki: 10 cm, 15 cm

Wersja PDF