/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Równoległobok/Oblicz długość

Zadanie nr 3366174

Przekątne równoległoboku ABCD mają długości: |AC | = 1 6 oraz |BD | = 12 . Wierzchołki E,F,G oraz H rombu EF GH leżą na bokach równoległoboku ABCD (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.

PIC

Oblicz długość boku rombu EF GH .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez x długość boku rombu EF GH .

Sposób I

Trójkąt AF E jest podobny do trójkąta ABD , więc

AE EF x ---- = ----= --. AD DB 12

Analogicznie, z podobieństwa trójkątów DEH i DAC mamy

DE-- EH-- x-- AD = AC = 16.

Dodajemy teraz te równości stronami i mamy

AE-- DE-- -x- x-- AD + AD = 1 2 + 16 AE + DE 4x + 3x ---------- = -------- AD 48 1 = -7-x ⇒ x = 48-. 4 8 7

Sposób II

Oznaczmy przez S i T punkty wspólne odpowiednio odcinków AC i EF oraz BD i EH .

PIC

Przekątne równoległoboku ABCD dzielą się na połowy, więc O jest środkiem odcinków AC i BD . W szczególności

-ES- AS-- FS-- F-S- x- DO = AO = BO = DO ⇒ ES = FS = 2.

Analogicznie

ET-- DT-- HT-- HT-- x- AO = DO = CO = AO ⇒ ET = HT = 2.

Czworokąt ESOT jest równoległobokiem, w którym dwa sąsiednie boki mają tą samą długość (ES = ET ), więc jest to romb. W szczególności SO = ET = x 2 i

x- AS = AO − SO = 8 − 2.

Patrzymy teraz raz jeszcze na trójkąty podobne AF S i ABO .

AS AO SF--= -OB- x 8-−--2 = 8- x2 6 1 6− x 4 ------- = -- x 3 4 8− 3x = 4x ⇒ 7x = 48 ⇒ x = 4-8. 7

 
Odpowiedź: 48 7

Wersja PDF