/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Równoległobok/Oblicz długość

Zadanie nr 4308753

Długości boków równoległoboku są równe 13 i 21, a jego pole wynosi 252. Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Ponieważ znamy długości boków oraz pole równoległoboku, możemy łatwo obliczyć długość jego wysokości.

AB ⋅DE = 252 ⇒ DE = 252-= 12. 21

Zajmijmy się teraz przekątną DB . Można ją obliczyć z trójkąta prostokątnego BDE , ale najpierw musimy obliczyć długość odcinka BE = 21 − AE . Liczymy (z trójkąta AED )

∘ ------------ √ ---------- AE = AD 2 − DE 2 = 169 − 14 4 = 5 BE = 2∘1−-AE--=--21-− 5∘ =-1-6------ √ ---- BD = DE 2 + BE 2 = 122 + 162 = 40 0 = 20.

Podobnie obliczamy długość drugiej przekątnej. Tym razem patrzymy na trójkąt AF C , gdzie AF jest wysokością opuszczoną na bok CD z wierzchołka A .

∘ ----------- ∘ --------------------- ∘ ---------- √ ---- √ ---- AC = AF 2 + FC 2 = DE 2 + (CD + AE )2) = 1 22 + 2 62 = 820 = 2 205.

Sposób II

Tym razem skorzystamy z twierdzenia cosinusów.

PIC

Oznaczmy tak jak na obrazku ∡A = α i przyjmijmy ∘ α < 90 (wtedy ∡B > 90∘ ). Ze wzoru na pole równoległoboku z sinusem mamy

252 = 13 ⋅21 ⋅sinα ⇒ sin α = --252--= 12-. 13 ⋅21 13

Zatem

∘ ---------- ∘ -------- cos α = 1 − sin2 α = 1 − 144-= 5-- 169 13 ∘ 5 cos ∡B = cos(180 − α ) = − cos α = − ---. 13

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD .

BD 2 = AB 2 + AD 2 − 2AB ⋅AD co sα BD 2 = 441+ 169 − 2 ⋅21⋅ 13⋅ 5--= 4 00 13 BD = 20.

Teraz piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC .

AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2AB ⋅ BC cos ∡B AC 2 = 441+ 169 + 2 ⋅21 ⋅13⋅ 5--= 8 20 √ ---- √ ---- 13 AC = 820 = 2 2 05.

 
Odpowiedź: √ ---- 20, 2 205

Wersja PDF