Zadanie nr 5635223
Obwód równoległoboku jest równy 26, miara jego kąta rozwartego
jest równa
, a promień okręgu wpisanego w trójkąt
jest równy
. Oblicz długości boków równoległoboku
.
Rozwiązanie
Oznaczmy boki równoległoboku przez . Wiemy wtedy, że
.
Musimy jakość wykorzystać podaną informację o promieniu okręgu wpisanego w trójkąt . Jest w zasadzie tylko jeden sposób, żeby to zrobić – wzór na pole trójkąta:
, gdzie
jest połową jego obwodu. Żeby móc z niego skorzystać, obliczmy najpierw długość
przekątnej
. Piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie
.
![∘ ----2------2-------------------∘ ∘ -2----2----- d = AB---+--AD---−-2AB ⋅AD cos 60 = a + b − ab = ∘ 2 √ ---------- = (a + b) − 3ab = 169 − 3ab.](https://img.zadania.info/zad/5635223/HzadR9x.gif)
Porównujemy teraz dwa wzory na pole trójkąta .
![1ab sin 60∘ = a+--b+-d-⋅r 2 2 ab√ 3- 13+ √ 169-−-3ab- √ -- 4 ------= -----------------⋅ 3 / ⋅√--- 4 √ ----2----- 3 ab − 26 = 2 169− 3ab / ()2 (ab)2 − 52ab+ 676 = 6 76− 12ab / : (ab) ab = 4 0.](https://img.zadania.info/zad/5635223/HzadR11x.gif)
Na mocy wzorów Viéte‘a to oznacza, że liczby i
są pierwiastkami równania kwadratowego
![2 x − 13x + 40 = 0 Δ = 169 − 16 0 = 9 13 − 3 13 + 3 x = -------= 5 lub x = -------= 8. 2 2](https://img.zadania.info/zad/5635223/HzadR14x.gif)
Odpowiedź: 5 i 8