Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8658074

W równoległoboku boki mają długości 3 i 7, a jedna z przekątnych ma długość 6. Oblicz cosinus kąta ostrego pod jakim przecinają się przekątne tego równoległoboku.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy równoległobok.


PIC


Spróbujemy obliczyć długość drugiej przekątnej równoległoboku. Aby móc to zrobić, obliczmy najpierw cosinus kąta α = ∡BAD . W tym celu piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD .

BD 2 = AB 2 + AD 2 − 2AB ⋅AD ⋅c osα 36 = 49+ 9− 42cos α ⇒ cosα = 22-= 11. 42 21

To oznacza, że

 11 co s∡ABC = cos(180∘ − α) = − cos α = − --- 21

i

 2 2 2 11 AC = AB + BC − 2AB ⋅BC cos ∡ABC = 49+ 9+ 42⋅ ---= 8 0 √ -- 21 AC = 4 5.

Cosinus kąta φ między przekątnymi obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Trójkąt ASD jest równoramienny. Niech E będzie środkiem jego podstawy. Mamy zatem

 √ -- ES 14AC 5 cos φ = ----= ----- = ---. DS DS 3

Sposób II

Piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ASD .

AD 2 = AS 2 + DS 2 − 2AS ⋅ DS co sφ √ -- 9 = 20 + 9 − 2⋅ 2 5⋅√3cos φ 20 5 5 cosφ = --√---= -√---= ----. 12 5 3 5 3

 
Odpowiedź: √ - -35

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!