Zadanie nr 1823597
Niech i
będą długościami kolejnych boków równoległoboku
, zaś
i
długościami jego przekątnych. Wykaż, że
.
Rozwiązanie
Szkicujemy równoległobok.
Sposób I
Jak wiadomo w każdym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości jego boków, tzn.
![p2 + r2 = 2(a2 + b2).](https://img.zadania.info/zad/1823597/HzadR1x.gif)
Musimy zatem wykazać nierówność
![1 2 2 2(p + r ) ≥ pr / ⋅2 2 2 p + r ≥ 2pr (p − r)2 ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/1823597/HzadR2x.gif)
Nierówność ta jest oczywiście spełniona.
Sposób II
Jeżeli nie chcemy korzystać z twierdzenia o przekątnych równoległoboku, to możemy sami je udowodnić.
Stosując twierdzenia cosinusów w trójkątach i
mamy
![p2 = BD 2 = a2 + b2 − 2abco sα 2 2 2 2 ∘ 2 2 r = AC = a + b − 2ab cos(18 0 − α) = a + b + 2abco sα.](https://img.zadania.info/zad/1823597/HzadR5x.gif)
Dodając te nierówności stronami mamy
![p2 + r2 = 2(a2 + b2).](https://img.zadania.info/zad/1823597/HzadR6x.gif)
Nierówność uzasadniamy tak jak w I sposobie.