Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2235986

Prosta przechodząca przez wierzchołek A równoległoboku ABCD przecina jego przekątną BD w punkcie E i bok BC w punkcie F , a prostą DC w punkcie G . Udowodnij, że

|EA |2 = |EF| ⋅|EG |.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Zauważmy, że mamy dwie pary trójkątów podobnych: ABE i GDE oraz BEF i DEA (są podobne, bo mają równe kąty). Z pierwszego podobieństwa mamy

EA-- EG-- EB-- EB = ED ⇒ EA = ED ⋅ EG .

Z drugiego podobieństwa

EA--= EF- ⇒ EA = ED--⋅ EF. ED EB EB

Mnożąc te dwie równości stronami mamy

EA 2 = EB--⋅EG ⋅ ED-⋅EF = EG ⋅EF . ED EB
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!