/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Równoległobok/Udowodnij

Zadanie nr 2235986

Prosta przechodząca przez wierzchołek A równoległoboku ABCD przecina jego przekątną BD w punkcie E i bok BC w punkcie F , a prostą DC w punkcie G . Udowodnij, że

|EA |2 = |EF| ⋅|EG |.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Zauważmy, że mamy dwie pary trójkątów podobnych: ABE i GDE oraz BEF i DEA (są podobne, bo mają równe kąty). Z pierwszego podobieństwa mamy

EA-- EG-- EB-- EB = ED ⇒ EA = ED ⋅ EG .

Z drugiego podobieństwa

EA--= EF- ⇒ EA = ED--⋅ EF. ED EB EB

Mnożąc te dwie równości stronami mamy

EA 2 = EB--⋅EG ⋅ ED-⋅EF = EG ⋅EF . ED EB
Wersja PDF