/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Równoległobok/Udowodnij

Zadanie nr 3097507

Wykaż, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Jeżeli przyjmiemy oznaczenia jak na rysunku to z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD mamy

BD 2 = a2 + b 2 − 2ab cos α

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC mamy

AC 2 = a2 + b2 − 2ab cos(180∘ − α) = a 2 + b2 + 2ab cos α.

Dodając te dwie równości stronami mamy

BD 2 + AC 2 = 2(a2 + b2).

Sposób II

Tym razem użyjemy rachunku wektorowego i podstawowych własności iloczynu skalarnego. Jeżeli oznaczymy → → AB = a i → → AD = b to mamy

→ → → AC = a + b → → → BD = b − a.

Zatem

→ → → → → → AC 2 + BD 2 = (AC )2 + (BD )2 = (a + b)2 + (b − a)2 = → → → → → → = 2 ((a)2 + (b )2)+ 2a ∘ b − 2 b ∘ a = 2 (AB 2 + AD 2)

Sposób III

Tym razem narysujmy sobie równoległobok w układzie współrzędnych. Możemy tak wybrać układ współrzędnych, że A = (0,0 ),B = (1,0),C = (1 + a,b),D = (a,b) .

PIC

Kwadraty długości ramion są więc równe

AB 2 = 1 AD 2 = a2 + b2.

Policzmy teraz sumę kwadratów długości przekątnych.

AC 2 + BD 2 = (1+ a)2 + b2 + (a − 1)2 + b2 = 2 2 2 2 2 2 2 = 1 + 2a + a + a − 2a + 1 + 2b = 2(1 + a + b ) = 2 (AB + AD ).

Sposób IV

Tym razem zrzutujmy wierzchołki B i D (czyli wierzchołki przy większych kątach równoległoboku) na przekątną AC .

PIC

Przyjmując oznaczenia z obrazka mamy

2 2 2 2 2 b = AE + DE = y + x a2 = AF 2 + BF 2 = (y + 2z )2 + x 2 = y2 + 4yz + 4z2 + x2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a + 2b = 2y + 8yz+ 8z + 2x + 2y + 2x = 4x + 4y + 8z + 8yz.

Z drugiej strony

AC 2 + BD 2 = (2y + 2z)2 + (2DS )2 = 4y2 + 8yz + 4z2 + 4(x2 + z2) = 2 2 2 2 2 = 4x + 4y + 8z + 8yz = 2a + 2b .
Wersja PDF