/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Równoległobok/Udowodnij

Zadanie nr 3598115

Wykazać, że odcinki łączące kolejne środki kwadratów zbudowanych na bokach równoległoboku tworzą także kwadrat.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od obserwacji, że cztery trójkąty AP S ,BP Q ,CRQ i DRS są przystające.

PIC

Rzeczywiście, mają dwie pary równych boków

AP = BP = CR = DR oraz AS = BQ = CQ = DS ,

oraz w każdym z tych trójkątów boki te spotykają się pod tym samym kątem

∡SAP = ∡3 60∘ − ∡DAS − ∡BAP − ∡DAB = 270∘ − ∡DAB ∡QBP = ∡QBC + ∡CBA + ∡ABP = 4 5∘ + 1 80∘ − ∡DAB + 4 5∘ = ∘ = 270 − ∡DAB ∡QCR = ∡3 60∘ − ∡QCB − ∡BCD − ∡RCD = 270∘ − ∡DAB ∘ ∘ ∘ ∡SDR = ∡SDA + ∡ADC + ∡CDR = 45 + 18 0 − ∡DAB + 45 = = 270∘ − ∡DAB .

Z przystawania trójkątów AP S,BP Q ,CRQ i DRS otrzymujemy

SP = PQ = QR = RS ,

czyli czworokąt P QRS jest rombem.

Ponadto,

∡SP Q = ∡SPA + ∡AP B − ∡QP B = ∡AP B = 90∘.

Jest to więc kwadrat.

Wersja PDF