/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Równoległobok/Udowodnij

Zadanie nr 8524178

Punkty R i S są środkami boków odpowiednio AB i BC równoległoboku ABCD . Wykaż, że pole trójkąta RSD jest równe38 pola tego równoległoboku.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy AB = CD = 2a , AD = BC = 2b i ∡BAD = α .

PIC

Mamy zatem

PARD = 1AR ⋅AD sin α = ab sin α 2 1- PCDS = 2CD ⋅CS sin α = ab sinα 1 1 PRBS = -RB ⋅BS sin(180∘ − α) = -ab sin α. 2 2

Stąd

PRSD = PABCD − PARD − PCDS − PRBS = = 4ab sinα − absinα − absinα − 1ab sin α = 2 1- 3- 3- = 2ab sinα − 2ab sin α = 2ab sin α = 8 ⋅PABCD .
Wersja PDF