/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Równoległobok/Udowodnij

Zadanie nr 8537917

W równoległoboku ABCD punkt P jest takim punktem boku AB , że |AP | : |PB | = 2 . Punkt R jest takim punktem boku BC , że |RC | : |BR | = 2 . Wykaż, że pole trójkąta PDR jest 5 razy większe od pola trójkąta P BR .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy AB = CD = 3a , AD = BC = 3b i ∡BAD = α .

PIC

Mamy zatem

PAPD = 1AP ⋅AD sinα = 3ab sin α 2 1- PCDR = 2CD ⋅CR sin α = 3ab sin α 1 1 PPBR = -PB ⋅ BR sin(180∘ − α ) = -ab sinα. 2 2

Stąd

PPDR = PABCD − PAPD − PCDR − PPBR = = 9absin α − 3ab sin α − 3ab sin α − 1-absin α = 2 1- 5- = 3absin α − 2ab sinα = 2ab sinα = 5⋅ PPBR.
Wersja PDF