/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Równoległobok/Udowodnij

Zadanie nr 9300558

W równoległoboku ABCD , w którym |AB | = 2|AD | punkt M jest środkiem boku CD . Wykaż, że trójkąt ABM jest prostokątny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Zauważmy, że ponieważ M jest środkiem boku CD i CD = AB = 2AD = 2BC , trójkąty AMD i MBC są równoramienne. Oznaczmy ∡MAD = ∡AMD = α i ∡MBC = ∡BMC = β .

Sposób I

Zauważmy, że ∘ ∡D + ∡C = 180 . Zależność ta pozwoli uzyskać zależność między kątami α i β . Liczymy

∘ ∘ ∘ 180 = ∡D + ∡C = 180 − 2 α+ 180 − 2β 2α+ 2β = 1 80∘ ∘ α+ β = 90 .

Zatem

∘ ∘ ∘ ∘ ∡AMB = 1 80 − α− β = 18 0 − 90 = 90 .

Sposób II

Niech N będzie środkiem boku AB . Czworokąt ANMD jest równoległobokiem oraz AD = DM . Jest to więc romb. Analogicznie zauważamy, że czworokąt NBCM jest rombem. Ponieważ przekątne w rombie są dwusiecznymi jego kątów wewnętrznych, mamy ∡AMN = ∡AMD i ∡BMN = ∡BMC . W takim razie

1- 1- ∘ ∘ ∡AMB = α + β = 2 (2α+ 2β) = 2 ⋅ 180 = 90 .
Wersja PDF