Zadanie nr 9327053
Na przeciwległych bokach równoległoboku zbudowano kwadraty
i
. Udowodnij, że proste
i
są równoległe.
Rozwiązanie
Sposób I
Dorysujmy przekątną równoległoboku.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/9327053/HzadR1x.gif)
Zauważmy, że trójkąty i
są przystające. Rzeczywiście, mają wspólny bok
, ponadto
oraz
![∡HDB = 9 0∘ + ∡ADB = 90∘ + ∡DBC = ∡DBE .](https://img.zadania.info/zad/9327053/HzadR6x.gif)
W szczególności,
![∡HBD = ∡EDB ,](https://img.zadania.info/zad/9327053/HzadR7x.gif)
co oznacza, że proste i
przecinają prostą
pod tym samym kątem.
Sposób II
Tym razem dorysujmy przekątne i
dorysowanych kwadratów. Zauważmy, że trójkąty
i
mają dwa boki równej długości (
i
) oraz
![∘ ∘ ∡BAH = ∡BAD + 45 = ∡DCB + 45 = ∡DCE .](https://img.zadania.info/zad/9327053/HzadR17x.gif)
To oznacza, że trójkąty i
są przystające. W szczególności
, co oznacza, że proste
i
przecinają równoległe proste
i
pod tym samym kątem. Proste
i
są więc równoległe.
Sposób III
Zauważmy, że odcinki i
mają równe długości oraz są równoległe (bo są prostopadłe do równoległych odcinków
i
). To oznacza, że w czworokącie
przeciwległe boki
i
mają równą długość i są równoległe. Czworokąt ten jest więc równoległobokiem. Zatem jego pozostałe dwa boki
i
też są równoległe.