Zadanie nr 6475298

Punkty A ,B,C ,D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku o obwodzie równym 26. Wiedząc, że kąt przy wierzchołku ma miarę 120∘ i promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD jest równy √ -- 3 , oblicz długości boków i pole tego równoległoboku.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy boki równoległoboku przez i .

Sposób I

Wiemy, że

a + b = 13.

Aby wyliczyć i potrzebujemy jeszcze jednego równania – otrzymamy je z podanej długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt BCD (lub ABD , bo trójkąty te są przystające). Jedyny sposób na wyliczenie promienia okręgu wpisanego to wzór na pole

1 1 √ -- PABD = 2-(a+ b+ d )r = 2(13 + d ) 3.

Pole wyliczamy ze wzoru z sinusem

√ -- 1 ∘ 3 PABD = --absin 60 = ----ab, 2 4

a długość przekątnej wyliczamy z twierdzenia cosinusów.

∘ ---2-------2------------------∘- ∘ -2----2----- d = DB = AB + AD − 2AB ⋅AD c os60 = a + b − ab.

Mamy zatem

√ -- --3- 1- ∘ -2----2----- √ -- 4 ab = 2 (13+ a + b − ab) 3 ∘ ------------ ab = 26 + 2 a2 + b2 − ab ∘ -2----2----- ab − 26 = 2 a + b − ab a2b2 − 52ab + 262 = 4a2 + 4b2 − 4ab 2 2 2 2 2 a b − 48ab + 26 = 4a + 4b .

Korzystamy teraz z równości b = 1 3− a i b2 = 132 − 26a + a2

2 2 2 2 2 2 a b − 48ab + 26 = 4a + 4(13 − 26a + a ) a2b2 − 48ab = 4a2 − 104a + 4a2 / : a ab2 − 48b = 8a − 104 2 2 a(13 − 26a + a ) − 48(1 3− a ) = 8a− 104 a3 − 26a2 + 209a − 52 0 = 0.

Szukając całkowitych pierwiastków można sprawdzić, że a = 5 jest pierwiastkiem. Dzielimy wielomian przez (a − 5) . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 a − 26a + 209a − 520 = (a − 5a )− (2 1a − 105a) + 104a − 52 0 = (a2 − 21a+ 104)(a − 5).

Rozkładamy wielomian w nawiasie, Δ = 441 − 416 = 25 . Stąd a = 8 lub a = 13 . Ponieważ jednak a+ b = 13 , drugi z pierwiastków odrzucamy. Zatem a = 5 i b = 8 lub a = 8 i b = 5 .

Pozostało policzyć pole

√ -- 3 √ -- P = absin 60∘ = 40 ⋅----= 20 3. 2

Sposób II

W zasadzie jest to uproszczenie poprzedniego sposobu. Jak poprzednio dochodzimy do równości

∘ ------------ 26 + 2 a2 + b 2 − ab = ab

Teraz jednak zauważmy, że

a 2 + b2 = (a+ b )2 − 2ab = 169 − 2ab

Tak więc

√ ---------- 26 + 2 16 9− 3ab = ab 2 2 4(169 − 3ab ) = (ab − 26) = (ab) − 52ab + 676 − 12ab = (ab )2 − 5 2ab ab = 4 0.

Mamy zatem układ równań

{ a+ b = 13 ab = 40.

Na mocy wzorów Viéte’a, rozwiązaniami tego układu są pierwiastki równania

2 x − 13x + 40 = 0 Δ = 16 9− 160 = 9 x = 5 ∨ x = 8.

Zatem boki równoległoboku mają długości 5 i 8. Pole liczymy jak poprzednio.

Sposób III

Tym razem zróbmy trochę dokładniejszy rysunek: połączmy środek okręgu wpisanego w trójkąt DBC z jego wierzchołkami, oraz z z jego rzutami Q ,P ,R na boki BC ,CD ,DB . Otrzymujemy w ten sposób trzy pary przystających trójkątów prostokątnych, więc P C = PQ , BR = BQ and DR = DP . Patrząc na trójkąt OQC mamy