/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Równoległobok/Różne

Zadanie nr 9737560

W równoległoboku ABCD , w którym ∘ |AB | = 6, |BC | = 5, ∡BAD = 60 poprowadzono wysokości BE i BF na boki AD i DC .

  • Wykonaj odpowiedni rysunek i oblicz długości odcinków BE i BF .
  • Oblicz pole trójkąta BEF .
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Zaczynamy oczywiście od rysunku.
    PIC

    Sposób I

    Ze wzoru na pole równoległobok z sinusem możemy policzyć pole równoległoboku

    √ -- ∘ 3 √ -- PABCD = 5 ⋅6 ⋅sin 60 = 30⋅ ----= 1 5 3. 2

    Z drugiej strony, pole to iloczyn podstawy i wysokości, czyli

    √ -- √ -- √ -- 15---3 5--3- 15 3 = AB ⋅BF ⇒ BF = 6 = 2 √ -- √ -- √ -- 15 3 = BC ⋅ BE ⇒ BE = 15--3-= 3 3. 5

    Sposób II

    Z trójkątów prostokątnych ABE i BF C mamy

    √ -- BE ∘ 3 √ -- ----= sin 60 ⇒ BE = 6 ⋅----= 3 3 AB √2-- √ -- BF-= sin6 0∘ ⇒ BF = 5 ⋅--3-= 5--3. BC 2 2

     
    Odpowiedź: - √ -- 5√3- BE = 3 3, BF = 2

  • Zauważmy, że
    ∘ ∘ ∘ ∡ABE = 90 − 60 = 30 ∡F BC = 90∘ − 60∘ = 30 ∘ ∘ ∘ ∘ ∡ABC = 180 − 60 = 120 .

    Zatem

    ∘ ∘ ∘ ∘ ∡EBF = ∡ABC − ∡ABE − ∡F BC = 1 20 − 30 − 30 = 60 .

    Zatem znamy długości dwóch boków trójkąta BEF oraz kąt między nimi. Możemy więc policzyć jego pole ze wzoru z sinusem.

    √ -- √ -- √ -- √ -- PEBF = 1BE ⋅BF ⋅sin 60∘ = 1⋅ 3 3⋅ 5--3-⋅--3-= 45--3-. 2 2 2 2 8

     
    Odpowiedź: √- 45-3- 8

Wersja PDF