/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat/Udowodnij

Zadanie nr 1814426

Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych figur ma większe pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez O obwód kwadratu i koła, a przez x bok kwadratu i przez r promień koła. Wówczas ze wzorów na obwody otrzymujemy

r = -O- i x = O-. 2 π 4

Stąd

2 2 Pkolo = πr 2 = π ⋅ O---= O-- 4π2 4π 2 O 2 Pkwadrat = x = 16-

Ponieważ π < 4 mamy więc

O2 O 2 Pkolo = 4π-> 16- = Pkwadrat.
Wersja PDF