/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat/Udowodnij

Zadanie nr 2292510

Prosta przechodząca przez wierzchołek C kwadratu ABCD przecina przedłużenia jego boków AB i AD odpowiednio w punktach K i L (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że

--1---+ --1---= --1---. |CL |2 |CK |2 |AB |2
Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy AB = a i ∡AKC = ∡DCL = α .

PIC

W trójkątach prostokątnych BKC i DCL mamy

sinα = BC-- ⇒ -1--= sin-α- CK CK a DC-- -1- cosα- cosα = CL ⇒ CL = a .

Stąd

--1-- --1- sin2α- cos2α- -1- --1-- CK 2 + CL 2 = a2 + a2 = a2 = AB 2 .
Wersja PDF