/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat/Udowodnij

Zadanie nr 4154193

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E . Punkty L i N są środkami odcinków – odpowiednio – BE i ED . Punkty K i M leżą na przekątnej AC tak, że |AK | = 14|AE | i |CM | = 14|CE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 3:8.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy z tego, że przekątne kwadratu są prostopadłe.

1 1 3 1 PKEL = -EK ⋅EL = --⋅--EA ⋅ -EB = 2 2 4 2 = 3⋅ 1EA ⋅EB = 3-⋅P = 3-⋅ 1P . 8 2 8 AEB 8 4 ABCD

Dokładnie w ten sam sposób uzasadniamy, że

PLEM = PMEN = PNEK = 3-⋅ 1-PABCD . 8 4

Mamy zatem

3 1 PKLMN-- = PKEL-+-PLEM--+-PMEN---+-PNEK--= 4⋅PKEL--= 4⋅-8 ⋅-4PABCD-= 3. PABCD PABCD PABCD PABCD 8

Sposób II

Korzystamy ze wzoru na pole rombu z przekątnymi.

1 1 3 1 3 1 3 PKLMN = 2-⋅KM ⋅ NL = 2-⋅ 4AC ⋅2-BD = 8-⋅ 2AC ⋅BD = 8PABCD .
Wersja PDF