/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat/Udowodnij

Zadanie nr 4689584

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na bokach AD , AB i BC kwadratu ABCD wybrano punkty K , L i M w ten sposób, że KL ∥ DB i LM ∥ AC . Uzasadnij, że |LK |+ |LM | = |AC | .

PIC

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy AL = x i LB = y . Trójkąty ALK i LBM są prostokątne i mają kąty ostre równe ∘ 4 5 , więc są to trójkąty równoramienne.

PIC

Zatem BM = y i mamy

∘ -------- ∘ -2----2- 2 2 √ -- √ -- √ -- √ -- LK + LM = x + x + y + y = x 2 + y 2 = (x+ y ) 2 = AB 2 = AC .

Sposób II

Poprowadźmy przez punkty K,L i M proste równoległe do boków kwadratu (prawy rysunek). Otrzymane czworokąty ALP K,SRT D i LBMR są kwadratami, w dodatku kwadraty ALP K i SRT D są przystające. Zatem

LK + LM = RD + BR = BD = AC .
Wersja PDF