/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat/Udowodnij

Zadanie nr 4737117

Prosta przechodząca przez środek S kwadratu ABCD przecina proste zawierające jego boki AB i AD odpowiednio w punktach K i L (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że

--1---+ --1---= ---4--. |SL |2 |SK |2 |AB |2
Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech E i F będą rzutami punktu S odpowiednio na proste AD i AB . Oznaczmy ponadto AB = a i ∡ESL = ∡F KS = α .

PIC

W trójkątach prostokątnych ESL i FKS mamy

cos α = ES- ⇒ -1-= cos-α = 2co-sα- SL SL a2 a SF 1 sin α 2sin α sin α = --- ⇒ --- = -a---= ------. SK SK 2 a

Stąd

2 2 -1--+ -1--= 4-cos-α-+ 4sin--α-= 4--= --4--. SL 2 SK 2 a2 a2 a2 AB 2
Wersja PDF