/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat/Udowodnij

Zadanie nr 5974568

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Bok EF kwadratu EF GH zawiera się w przekątnej BD kwadratu ABCD , a punkt C należy do odcinka GH . Odcinki FG i BC przecinają się w punkcie K , a odcinki EH i CD przecinają się w punkcie L . Wykaż, że |BK-|= |HL-| |KC | |LE| .

PIC

Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy z trójkątów DEL ,LCH ,KGC ,FBK jest prostokątny i równoramienny (kąty ostre każdego z tych trójkątów mają miarę 4 5∘ ). Ponadto

CG = HG − HC = HE − HL = LE,

więc trójkąty DEL i CGK są przystające. Podobnie uzasadniamy, że trójkąty LCH i BKF są przystające:

FK = F G − KG = GH − GC = CH .

Sposób I

Korzystając z podobieństwa trójkątów BKF i CKG mamy

BK--= FK--= HL--. KC KG LE

Sposób II

Ponieważ √ -- BK = FK 2 oraz √ -- KC = KG 2 mamy

√ -- BK FK 2 F K HL ----= ---√---= ----= ----. KC KG 2 KG LE
Wersja PDF