Zadanie nr 6767416
Dany jest kwadrat o boku długości 3. Punkty
i
leżą na prostych – odpowiednio –
i
tak, że
i
(zobacz rysunek). Odcinek
przecina przekątną
tego kwadratu w punkcie
.
Wykaż, że .
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że
![√ -- √ -- BD = AB 2 = 3 2 BK 2√ 3- √ -- tg ∡BLK = ----= -----= 3 ⇒ ∡BLK = 60∘. BL 2](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR0x.png)
Sposób I
Popatrzmy na trójkąt prostokątny . Jego pole jest równe
![1 √ -- √ -- PKBL = --⋅2 ⋅2 3 = 2 3 . 2](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR2x.png)
Możemy też obliczyć to pole w inny sposób – jako sumę pól trójkątów i
– korzystamy ze wzoru na pole z sinusem.
![√ -- ∘ ∘ 4 3 = 2PKBL = 2PKBM + 2PLBM = KB ⋅BM ⋅sin 45 + LB ⋅BM ⋅sin 45 √ -- √ -- √ -- √ -- √ --√ -- 4 3 = 2 3⋅ BM ⋅--2-+ 2BM ⋅--2-= 2( 3 + 1)⋅ BM . 2 2](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR5x.png)
Stąd
![√ -- √ -- √ --√ -- 4 3 2 6 2 6( 3 − 1 ) √ -- √ -- BM = √----√------- = √-------= --------------= 3 2 − 6. 2 ( 3+ 1) 3 + 1 3 − 1](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR6x.png)
Zatem
![√ -- √ -- √ -- √ -- MD = BD − BM = 3 2 − (3 2 − 6 ) = 6.](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR7x.png)
Sposób II
Tak jak poprzednio patrzymy na trójkąt – tym razem jednak spróbujemy obliczyć długość odcinka
korzystając z twierdzenia sinusów. Zauważmy najpierw, że
![∡LBM = 45∘ ∡BML = 180∘ − ∡LBM − ∡BLM = 180∘ − 45 ∘ − 6 0∘ = 75∘](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR10x.png)
Obliczymy jeszcze sinus . Korzystamy ze wzoru na sinus sumy.
![sin 75∘ = sin (45∘ + 30∘) = sin 45∘co s30∘ + sin30 ∘cos 45∘ = √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- = --2⋅ --3-+ 1-⋅--2-= --6-+---2- 2 2 2 2 4](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR12x.png)
Piszemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie .
![BL BM -----------= ----------- sin ∡BML sin ∡BLM ---2--- = -BM----. sin 75∘ sin 60∘](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR14x.png)
Stąd
![√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- 2-sin60-∘ ----3-- ----4--3----- --2--6-- 2--6-(--3−--1) √ -- √ -- BM = sin 75∘ = √6+√-2-= √ --√ -- = √ -- = 3 − 1 = 3 2 − 6 4√ -- √ 2( 3√+--1) √ -- 3+ 1 MD = BD − BM = 3 2− (3 2− 6) = 6.](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR15x.png)
Sposób III
Tym razem ponownie skorzystamy z twierdzenia sinusów, ale poradzimy sobie bez obliczania . Zauważmy, że prosta
jest dwusieczną kąta
, więc na mocy twierdzenia o dwusiecznej
![√ -- KM-- BK-- 2--3- √ -- ML = BL = 2 = 3.](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR19x.png)
Wiemy zatem w jakim stosunku punkt dzieli odcinek
oraz znamy długość tego odcinka:
![∘ ---2-----2- √ ------- KL = BK + BL = 12+ 4 = 4.](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR22x.png)
Możemy więc obliczyć długość odcinka .
![KM-- ---KM------ --KMML---- KM = KL ⋅ KL = KM + ML ⋅KL = KM- + 1 ⋅KL = √ -- √ -- √ -- ML 3 4 3 ( 3− 1) √ -- = √-------⋅4 = ----3-−-1----- = 6 − 2 3. 3+ 1](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR24x.png)
Teraz piszemy twierdzenie sinusów w trójkącie .
![KM BM ------∘ = ------∘. sin 45 sin 30](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR26x.png)
Stąd
![∘ √ -- 1 BM = KM ⋅ sin-30 = (6− 2 3)⋅ √2-= sin 45∘ -2- √ -- 2 √ -- --2- √ -- √ -- = (6− 2 3)⋅ 2 = 3 2− 6](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR27x.png)
Stąd
![√ -- √ -- √ -- √ -- MD = BD − BM = 3 2 − (3 2 − 6 ) = 6.](https://img.zadania.info/zad/6767416/HzadR28x.png)