Zadanie nr 6767416

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 3. Punkty i leżą na prostych – odpowiednio – i tak, że √ -- |BK | = 2 3 i |BL | = 2 (zobacz rysunek). Odcinek przecina przekątną tego kwadratu w punkcie .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że √ -- |MD | = 6 .

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

√ -- √ -- BD = AB 2 = 3 2 BK 2√ 3- √ -- tg ∡BLK = ----= -----= 3 ⇒ ∡BLK = 60∘. BL 2

Sposób I

Popatrzmy na trójkąt prostokątny KBL . Jego pole jest równe

1 √ -- √ -- PKBL = --⋅2 ⋅2 3 = 2 3 . 2

Możemy też obliczyć to pole w inny sposób – jako sumę pól trójkątów KBM i LBM – korzystamy ze wzoru na pole z sinusem.

√ -- ∘ ∘ 4 3 = 2PKBL = 2PKBM + 2PLBM = KB ⋅BM ⋅sin 45 + LB ⋅BM ⋅sin 45 √ -- √ -- √ -- √ -- √ --√ -- 4 3 = 2 3⋅ BM ⋅--2-+ 2BM ⋅--2-= 2( 3 + 1)⋅ BM . 2 2

Stąd

√ -- √ -- √ --√ -- 4 3 2 6 2 6( 3 − 1 ) √ -- √ -- BM = √----√------- = √-------= --------------= 3 2 − 6. 2 ( 3+ 1) 3 + 1 3 − 1

Zatem

√ -- √ -- √ -- √ -- MD = BD − BM = 3 2 − (3 2 − 6 ) = 6.

Sposób II

Tak jak poprzednio patrzymy na trójkąt KBL – tym razem jednak spróbujemy obliczyć długość odcinka korzystając z twierdzenia sinusów. Zauważmy najpierw, że

∡LBM = 45∘ ∡BML = 180∘ − ∡LBM − ∡BLM = 180∘ − 45 ∘ − 6 0∘ = 75∘

Obliczymy jeszcze sinus 75∘ . Korzystamy ze wzoru na sinus sumy.

sin 75∘ = sin (45∘ + 30∘) = sin 45∘co s30∘ + sin30 ∘cos 45∘ = √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- = --2⋅ --3-+ 1-⋅--2-= --6-+---2- 2 2 2 2 4

Piszemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie LBM .

BL BM -----------= ----------- sin ∡BML sin ∡BLM ---2--- = -BM----. sin 75∘ sin 60∘

Stąd

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- 2-sin60-∘ ----3-- ----4--3----- --2--6-- 2--6-(--3−--1) √ -- √ -- BM = sin 75∘ = √6+√-2-= √ --√ -- = √ -- = 3 − 1 = 3 2 − 6 4√ -- √ 2( 3√+--1) √ -- 3+ 1 MD = BD − BM = 3 2− (3 2− 6) = 6.

Sposób III

Tym razem ponownie skorzystamy z twierdzenia sinusów, ale poradzimy sobie bez obliczania ∘ sin 75 . Zauważmy, że prosta jest dwusieczną kąta KBL , więc na mocy twierdzenia o dwusiecznej