Zadanie nr 7937456
Punkt leży na boku
kwadratu
oraz
. Punkt
leży na przekątnej
i odcinek
jest prostopadły do
(zobacz rysunek).
Wykaż, że .
Rozwiązanie
Dana równość oznacza, że
![CL- 2 CL--= ---CL---- = --LB---= --3---= --2---= 2. CB CL + LB CLLB-+ 1 23 + 1 2+ 3 5](https://img.zadania.info/zad/7937456/HzadR1x.gif)
Sposób I
Trójkąt jest równoramiennym trójkątem prostokątnym (połówka kwadratu), więc
![CL = CK √ 2- ⇒ CK = C√L-. 2](https://img.zadania.info/zad/7937456/HzadR3x.gif)
Ponadto, , więc
![CK C√L- 1 CL 1 2 1 ----= ---2√---= -⋅ ----= -⋅ --= -. CA CB 2 2 CB 2 5 5](https://img.zadania.info/zad/7937456/HzadR5x.gif)
To oznacza, że i
![1 CK--= 5-= 1. AK 45 4](https://img.zadania.info/zad/7937456/HzadR7x.gif)
Sposób II
Jeżeli oznaczymy , to
![CL = 2CB = 2-a 5 5 √ -- 2 √ -- 2 2 -a = CL = CK 2 ⇒ CK = -√--a = ---a. 5 5 2 5](https://img.zadania.info/zad/7937456/HzadR9x.gif)
Stąd
![√-2 CK--= -5√-a-= 1. CA a 2 5](https://img.zadania.info/zad/7937456/HzadR10x.gif)
To oznacza, że i
![CK 15 1 ----= 4-= -. AK 5 4](https://img.zadania.info/zad/7937456/HzadR12x.gif)