/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat/Udowodnij

Zadanie nr 9292573

Punkt P należy do okręgu opisanego na kwadracie ABCD . Wykaż, że |PB |2 − |PA |2 = |PC |2 − |P D|2 .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy przekątne kwadratu (a więc średnice okręgu).

PIC

Trójkąty P BD i AP C są prostokątne (bo kąt oparty na średnicy jest prosty). Zatem

PB 2 + P D 2 = BD 2 = AC 2 = PA 2 + PC 2.

Stąd

P B2 − PA 2 = P C2 − PD 2.
Wersja PDF