Zadanie nr 9967350
Na zewnątrz kwadratu na bokach
i
zbudowano trójkąty równoboczne
i
. Uzasadnij, że proste
i
są prostopadłe.
Rozwiązanie
Sposób I
Patrzymy na trójkąt . Pokażemy, że w tym trójkącie
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/9967350/HzadR2x.gif)
Zauważmy najpierw, że każdy z trójkątów i
jest równoramienny oraz
![∘ ∘ ∡DCF = ∡CBE = 90 + 60 .](https://img.zadania.info/zad/9967350/HzadR5x.gif)
Trójkąty i
są więc przystające. W szczególności
![∡BCE = ∡CDG .](https://img.zadania.info/zad/9967350/HzadR8x.gif)
Patrzymy na trójkąt .
![∡DGC = 180∘ − ∡CDG − ∡DCG = ∘ ∘ = 180 − ∡CDG − (90 − ∡BCE ) = = 90∘ − (∡CDG − ∡BCE ) = 9 0∘.](https://img.zadania.info/zad/9967350/HzadR10x.gif)
Sposób II
Tak jak poprzednio stwierdzamy, że trójkąty i
są równoramienne i kąt między ramionami ma miarę
. Zatem
![18-0∘ −-150∘ ∘ ∡ECB = 2 = 1 5 .](https://img.zadania.info/zad/9967350/HzadR14x.gif)
Zatem
![∡DCG = 90∘ − 15∘ = 7 5∘.](https://img.zadania.info/zad/9967350/HzadR15x.gif)
To oznacza, że prosta jest dwusieczną w trójkącie równoramiennym
. Dwusieczna kąta między ramionami kąta w trójkącie równoramiennym pokrywa się z jego wysokością, zatem prosta
jest prostopadła do
.
Sposób III
Dorysujmy odcinki i
. Zauważmy, że trójkąty
i
są równoramienne (
) oraz w każdym z nich kąt między ramionami ma miarę
. Trójkąty te są więc przystające, czyli
. To jednak oznacza, że czworokąt
jest deltoidem. Przekątne deltoidu są prostopadłe, czyli
.
Sposób IV
Niech będzie obrotem o
względem środka kwadratu
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/9967350/HzadR32x.gif)
Obrót ten przekształca trójkąt na
, oraz punkt
na punkt
. Zatem
. To oznacza, że odcinki te są prostopadłe.