Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2414065

Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD o polu 4.


PIC


Punkty E i F są środkami boków BC i AB , a punkt G jest punktem wspólnym odcinków CF i DE . Oblicz pole czworokąta AF GD

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zauważmy, że trójkąty prostokątne CDE i BCF są przystające, więc możemy oznaczyć ∡CDE = ∡BCF = α .


PIC


W trójkącie prostokątnym CDE mamy ponadto

∡DEC = 90∘ − ∡CDE = 90∘ − α.

To oznacza, że trójkąt CGE jest prostokątny, czyli odcinki CF i DE są prostopadłe.

Zauważmy jeszcze, że

 ∘ ------------ √ -- CF = DE = CD 2 + CE 2 = 5 √ -- CE-- -1-- --5- sinα = DE = √ 5-= 5 √ -- CD-- -2-- 2--5- cos α = DE = √ 5 = 5 .

To pozwala nam obliczyć długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym CGE .

GE √ 5- ----= sinα ⇒ GE = ---- CE 5√ -- GC-- 2--5- CE = cos α ⇒ GC = 5 .

Sposób I

Pole czworokąta AF GD możemy obliczyć jako sumę pól trójkątów AF D i F GD .

 1 1 PAFGD = PAFD + PFGD = --⋅AF ⋅AD + -F G ⋅DG = ( 2 √ --) ( 2 √ -) 1 1 √ -- 2 5 √ -- 5 = --⋅1 ⋅2+ --⋅ 5− ----- 5− ---- = 2 √ 2- √ -- 5 5 1 3 5 4 5 6 11 = 1+ --⋅-----⋅ -----= 1 + --= ---. 2 5 5 5 5

Sposób II

Tym razem obliczymy pole czworokąta AF GD odejmując od pola kwadratu ABCD pola trójkątów FBC i DGC .

 2 1- 1- PAFGD = PABCD − PFBC − PDGC = 2 − 2 ⋅1 ⋅2 − 2 ⋅DG ⋅GC = ( √ -) √ -- √ -- √ -- 1- √ -- --5- 2--5- 4--5- --5- 4- 11- = 4− 1− 2 5− 5 ⋅ 5 = 3− 5 ⋅ 5 = 3− 5 = 5 .

 
Odpowiedź: 11 5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!