Zadanie nr 8025797

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości . Punkt jest środkiem boku . Przekątna dzieli trójkąt ACE na dwie ﬁgury: AGF oraz CEF G (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz pola ﬁgur AGF oraz CEF G .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez 2 P = a pole kwadratu ABCD , to oczywiście

PACD = 1P 2 1- PAGD = 4P .

Trójkąty AED i ACE mają równe podstawy: DE = EC oraz wspólną wysokość opuszczoną na te podstawy. Zatem

1 1 PAED = PACE = -PACD = -P . 2 4

Sposób I

Zauważmy, że odcinki i to środkowe w trójkącie ACD , więc dzielą się w stosunku

AF : F E = DF : FG = 1 : 2.

W szczególności, FG = 13DG i

P = 1-P = 1⋅ 1P = -1-P AGF 3 AGD 3 4 12

(bo trójkąty AGF i AGD mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą ). Stąd

1- 1-- -2- 1- PCEFG = PACE − PAGF = 4P − 12P = 12P = 6 P.

Sposób II

Dorysujmy odcinek F C .

Trójkąt AF C jest równoramienny (bo jest w nim jednocześnie środkową i wysokością). W takim razie

PAGF = PFCG .

Z drugiej strony,

1- PAGF = PAGD − PAFD = 4P − PAFD = PAED − PAFD = PDEF = PEFC

(ostatnia równość wynika z tego, że trójkąty DEF i EF C mają wspólną wysokość opuszczoną na ich podstawy DE = EC ). Zatem

PCEFG = PFCG + PEFC = PAGF + PAGF = 2PAGF .

Stąd

1- -1- 2 PAGF = 3 PACE = 12 a 1 PCEFG = 2PAGF = -a2. 6

Sposób III

Dorysujmy odcinek , który łączy środki boków w trójkącie ACD . Jest on więc równoległy do (czyli czworokąt AGED jest trapezem) i 1 EG = 2 AD . To oznacza, że trójkąty AF D i EF G mają równe kąty, czyli są podobne. Skala ich podobieństwa to k = AEDG- = 2 , więc FG = 12FD = 13DG i trójkąt FGH jest 3 razy mniejszy od trójkąta DGE . Stąd