Zadanie nr 9309798
Wierzchołki kwadratu połączono ze środkami jego boków (zobacz rysunek) i otrzymano w ten sposób mniejszy kwadrat
. Oblicz, jaki jest stosunek obwodów kwadratów
i
.
Rozwiązanie
Oznaczmy długość boku dużego kwadratu przez .
Zauważmy, że odcinek jest równoległy do
i przechodzi przez środek boku
trójkąta
. Jest to więc odcinek łączący środki boków w trójkącie
, czyli
(inny sposób uzasadnienia tej równości, to zastosowanie twierdzenia Talesa:
).
Sposób I
Jeżeli oznaczymy i
, to z trójkąta prostokątnego
mamy
![AL a2 1 tg α = ----= --= --. AB a 2](https://img.zadania.info/zad/9309798/HzadR12x.gif)
Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny .
![1- KG-- 1- 2 = tgα = BG ⇒ KG = 2b.](https://img.zadania.info/zad/9309798/HzadR14x.gif)
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .
![KG 2 + BG 2 = KB 2 2 2 b-+ b2 = a-- / ⋅4 4 4 2 2 √a-- 5b = a ⇒ b = 5.](https://img.zadania.info/zad/9309798/HzadR16x.gif)
W takim razie stosunek obwodów kwadratów jest równy
![4a a √ -- 4b-= √a- = 5. 5](https://img.zadania.info/zad/9309798/HzadR17x.gif)
Sposób II
Tym razem obejdziemy się bez trygonometrii. Jak zauważyliśmy na początku, odcinek łączy środki boków w trójkącie
, więc w szczególności
. Podobnie uzasadniamy, że odcinek
łączy środki boków w trójkącie
, więc
. Jeżeli więc oznaczymy
, to mamy
![GB = F G = FE = AF = 2KG = 2x.](https://img.zadania.info/zad/9309798/HzadR25x.gif)
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .
![KG 2 + BG 2 = KB 2 2 2 x2 + (2x )2 = a-- 5x2 = a-- ⇒ x = -a√--. 4 4 2 5](https://img.zadania.info/zad/9309798/HzadR27x.gif)
W takim razie stosunek obwodów kwadratów jest równy
![4a a √ -- ------= -a--= 5. 4⋅2x √5](https://img.zadania.info/zad/9309798/HzadR28x.gif)
Sposób III
Tym razem zauważmy, że duży kwadrat można rozciąć w ten sposób, że z otrzymanych części można złożyć 5 kwadratów takich samych jak mały kwadrat. To oznacza, że pole dużego kwadratu jest 5 razy większe od pola małego kwadratu, czyli jego bok jest razy dłuższy niż bok małego kwadratu. Oczywiście stosunek obwodów też jest równy
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/9309798/HzadR31x.gif)
Odpowiedź: