Zadanie nr 9632498
Niech będzie kwadratem o boku długości
. Konstruujemy kolejno kwadraty
takie, że bok kolejnego kwadratu jest równy przekątnej poprzedniego kwadratu. Oblicz sumę pól kwadratów
.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Ze wzoru na długość przekątnej kwadratu o boku długości
, wiemy, że długości boków kwadratów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie
i ilorazie
. Ponieważ stosunek pól kwadratów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, pola kwadratów
tworzą ciąg geometryczny
o pierwszym wyrazie
i ilorazie
. Suma 11 początkowych wyrazów tego ciągu, to

Odpowiedź: