Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9632498

Niech K1 będzie kwadratem o boku długości a . Konstruujemy kolejno kwadraty K2,K 3,K4... takie, że bok kolejnego kwadratu jest równy przekątnej poprzedniego kwadratu. Oblicz sumę pól kwadratów K 1,K2,...,K 11 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Ze wzoru  √ -- d = a 2 na długość przekątnej kwadratu o boku długości a , wiemy, że długości boków kwadratów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a i ilorazie k = √ 2- . Ponieważ stosunek pól kwadratów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, pola kwadratów K 1,K2,K 3... tworzą ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie  2 a1 = a i ilorazie q = k2 = 2 . Suma 11 początkowych wyrazów tego ciągu, to

 1-−-q11 2 1−--211 2 a1 + ⋅⋅⋅+ a 11 = a1 ⋅ 1 − q = a ⋅ 1 − 2 = 2047a .

 
Odpowiedź:  2 204 7a

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!