Niech K_1 będzie kwadratem o boku długości a. Konstruujemy kolejno... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Pole, 9632498

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat/Pole

Zadanie nr 9632498

Niech $K1$ będzie kwadratem o boku długości $a$ . Konstruujemy kolejno kwadraty $K2,K 3,K4...$ takie, że bok kolejnego kwadratu jest równy przekątnej poprzedniego kwadratu. Oblicz sumę pól kwadratów $K 1,K2,...,K 11$ .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Ze wzoru $√ -- d = a 2$ na długość przekątnej kwadratu o boku długości $a$ , wiemy, że długości boków kwadratów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $a$ i ilorazie $k = √ 2-$ . Ponieważ stosunek pól kwadratów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, pola kwadratów $K 1,K2,K 3...$ tworzą ciąg geometryczny $(an)$ o pierwszym wyrazie $2 a1 = a$ i ilorazie $q = k2 = 2$ . Suma 11 początkowych wyrazów tego ciągu, to