/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat/Pole

Zadanie nr 9632498

Niech będzie kwadratem o boku długości . Konstruujemy kolejno kwadraty K2,K 3,K4... takie, że bok kolejnego kwadratu jest równy przekątnej poprzedniego kwadratu. Oblicz sumę pól kwadratów K 1,K2,...,K 11 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Ze wzoru √ -- d = a 2 na długość przekątnej kwadratu o boku długości , wiemy, że długości boków kwadratów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie i ilorazie k = √ 2- . Ponieważ stosunek pól kwadratów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, pola kwadratów K 1,K2,K 3... tworzą ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie 2 a1 = a i ilorazie q = k2 = 2 . Suma 11 początkowych wyrazów tego ciągu, to