Punkt P jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta ABC.... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 8651781

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Różne

Zadanie nr 8651781

Punkt $P$ jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta $ABC$ . Przez punkt $P$ poprowadzono prostą równoległą do boku $AB$ , która przecięła prostą $AC$ w punkcie $M$ i prostą $BC$ w punkcie $N$ .

Wykaż, że $|MN | = |AM |+ |BN |$ .
Wiedząc dodatkowo, że obwód trójkąta $MNC$ jest równy 15 cm, a długość odcinka $AB$ wynosi 10 cm, oblicz obwód trójkąta $ABC$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że odcinek $PB$ przecina dwie proste równoległe, więc $∡NP B = ∡ABP = ∡P BN .$
Zatem trójkąt $PNB$ jest równoramienny i
$P N = BN .$
Podobnie odcinek $AP$ przecina dwie proste równoległe, więc
$∡MPA = ∡BAP = ∡PAM .$
Stąd trójkąt $AMP$ jest również równoramienny i
$MP = AM .$
Mamy zatem
$MN = MP + PN = AM + BN .$
Liczymy obwód trójkąta $ABC$ korzystając z poprzedniego podpunktu. $AB + AC + BC = 10 + AM + MC + BN + NC = = 10 + (AM + BN )+ MC + NC = = 10 + MN + MC + NC = 10 + 15 = 25.$

Odpowiedź: 25 cm