Zadanie nr 3065127
Wysokość walca wpisanego w stożek jest równa promieniowi podstawy stożka. Stosunek objętości stożka do objętości walca wynosi 8 : 3. Oblicz tangens kąta zawartego między wysokością a tworzącą stożka.
Rozwiązanie
Rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.
Niech i
będą długościami promienia podstawy i wysokości stożka, a przez
oznaczmy promień podstawy walca. Dany stosunek objętości daje nam warunek

Musimy jeszcze wykorzystać to, że walec jest wpisany w stożek – mamy stąd podobieństwo trójkątów i
. Stąd

Wstawiamy to do poprzedniej równości.

Podstawmy teraz .

Szukamy teraz pierwiastka wymiernego, można znaleźć . Dzielimy teraz wielomian przez
– my zrobimy to grupując wyrazy.

Teraz rozkładamy trójmian w nawiasie.

Aby wybrać właściwe pierwiastki zauważmy, że przy naszych oznaczeniach musi być , czyli
. Zatem
lub
.
Odpowiedź: lub