Zadanie nr 3065127
Wysokość walca wpisanego w stożek jest równa promieniowi podstawy stożka. Stosunek objętości stożka do objętości walca wynosi 8 : 3. Oblicz tangens kąta zawartego między wysokością a tworzącą stożka.
Rozwiązanie
Rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.
Niech i
będą długościami promienia podstawy i wysokości stożka, a przez
oznaczmy promień podstawy walca. Dany stosunek objętości daje nam warunek
![1πr 2h 8 rh 3--2---= -- ⇒ -2-= 8. πa r 3 a](https://img.zadania.info/zad/3065127/HzadR4x.gif)
Musimy jeszcze wykorzystać to, że walec jest wpisany w stożek – mamy stąd podobieństwo trójkątów i
. Stąd
![CB DE ----= ---- CS DS -r= --a-- ⇒ a = r(h-−-r). h h − r h](https://img.zadania.info/zad/3065127/HzadR7x.gif)
Wstawiamy to do poprzedniej równości.
![2 2 2 8r--(h-−--r)- rh = 8a = h2 / : rh r ( r)2 1 = 8⋅ --⋅ 1 − -- . h h](https://img.zadania.info/zad/3065127/HzadR8x.gif)
Podstawmy teraz .
![2 1 = 8t(1− 2t + t ) 8t3 − 16t2 + 8t− 1 = 0.](https://img.zadania.info/zad/3065127/HzadR10x.gif)
Szukamy teraz pierwiastka wymiernego, można znaleźć . Dzielimy teraz wielomian przez
– my zrobimy to grupując wyrazy.
![3 2 3 2 2 8t − 16t + 8t− 1 = (8t − 4t )− (1 2t − 6t) + (2t− 1) = = (2t− 1)(4t2 − 6t+ 1 ).](https://img.zadania.info/zad/3065127/HzadR13x.gif)
Teraz rozkładamy trójmian w nawiasie.
![2 4t − 6t + 1 = 0 Δ = 3 6− 16 = 20 √ -- √ -- √ -- √ -- t = 6−--2--5-= 3−----5- ∨ t = 6-+-2---5 = 3-+---5-. 8 4 8 4](https://img.zadania.info/zad/3065127/HzadR14x.gif)
Aby wybrać właściwe pierwiastki zauważmy, że przy naszych oznaczeniach musi być , czyli
. Zatem
lub
.
Odpowiedź: lub