/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek/Kąt

Zadanie nr 3065127

Wysokość walca wpisanego w stożek jest równa promieniowi podstawy stożka. Stosunek objętości stożka do objętości walca wynosi 8 : 3. Oblicz tangens kąta zawartego między wysokością a tworzącą stożka.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.

PIC

Niech r i h będą długościami promienia podstawy i wysokości stożka, a przez a oznaczmy promień podstawy walca. Dany stosunek objętości daje nam warunek

1πr 2h 8 rh 3--2---= -- ⇒ -2-= 8. πa r 3 a

Musimy jeszcze wykorzystać to, że walec jest wpisany w stożek – mamy stąd podobieństwo trójkątów CBS i DES . Stąd

CB DE ----= ---- CS DS -r= --a-- ⇒ a = r(h-−-r). h h − r h

Wstawiamy to do poprzedniej równości.

2 2 2 8r--(h-−--r)- rh = 8a = h2 / : rh r ( r)2 1 = 8⋅ --⋅ 1 − -- . h h

Podstawmy teraz t = r = tg α h .

2 1 = 8t(1− 2t + t ) 8t3 − 16t2 + 8t− 1 = 0.

Szukamy teraz pierwiastka wymiernego, można znaleźć t = 1 2 . Dzielimy teraz wielomian przez 2t − 1 – my zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 8t − 16t + 8t− 1 = (8t − 4t )− (1 2t − 6t) + (2t− 1) = = (2t− 1)(4t2 − 6t+ 1 ).

Teraz rozkładamy trójmian w nawiasie.

2 4t − 6t + 1 = 0 Δ = 3 6− 16 = 20 √ -- √ -- √ -- √ -- t = 6−--2--5-= 3−----5- ∨ t = 6-+-2---5 = 3-+---5-. 8 4 8 4

Aby wybrać właściwe pierwiastki zauważmy, że przy naszych oznaczeniach musi być h > r , czyli t < 1 . Zatem √ - tgα = 3−--5 4 lub tgα = 1 2 .  
Odpowiedź: √- 3−4-5 lub 12

Wersja PDF