Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM
Zaloguj się

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4665157

Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola przekroju osiowego tego stożka jest równy 2√π3- . Oblicz kąt rozwarcia stożka.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku – oznaczmy kąt rozwarcia kąta przez 2α .

PIC

Sposób I

Zapiszmy podaną informację o stosunku pól.

2√π--= --πrl---= πl- / : π 3 12 ⋅2r⋅h h l 2 --= √--- /()−1 h 3- h √ 3 --= ---- l 2 √ -- --3- cos α = 2 .

Zatem α = 3 0∘ i kąt rozwarcia stożka jest równy 2α = 60∘ .

Sposób II

Zauważmy, że

r r - = sin α ⇒ l = ----- l sin α r-= tg α ⇒ h = -r--. h tgα

Zapiszmy podaną informację o stosunku pól.

2π πrl πl √---= 1------- = --- / : π 3 2 ⋅2r⋅ h h 2 --r- tgα sinα 1 √---= sinrα = ----- = cosα-= ----- 3 tgα sin α sin α cos α √ 3- co sα = ---. 2

Zatem ∘ α = 3 0 i kąt rozwarcia stożka jest równy ∘ 2α = 60 .

Sposób III

Zapiszmy podaną informację o stosunku pól (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z sinusem).

2π πrl 2πr √----= -12-------= ------- / : 2π 3 2l sin 2α lsin 2α 1 r √----= lsin-2α. 3

Zauważmy, że ponadto

r l = sin α ⇒ r = lsin α.

Mamy zatem

-1-- ---r--- lsin-α- ----sin-α---- ---1--- √ 3-= lsin 2α = lsin 2α = 2 sin α cosα = 2 cosα √ -- --3- co sα = 2 .

Zatem α = 3 0∘ i kąt rozwarcia stożka jest równy 2α = 60∘ .  
Odpowiedź: 60∘

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!