Zadanie nr 4665157

Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola przekroju osiowego tego stożka jest równy 2√π3- . Oblicz kąt rozwarcia stożka.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku – oznaczmy kąt rozwarcia kąta przez .

Sposób I

Zapiszmy podaną informację o stosunku pól.

2√π--= --πrl---= πl- / : π 3 12 ⋅2r⋅h h l 2 --= √--- /()−1 h 3- h √ 3 --= ---- l 2 √ -- --3- cos α = 2 .

Zatem α = 3 0∘ i kąt rozwarcia stożka jest równy 2α = 60∘ .

Sposób II

Zauważmy, że

r r - = sin α ⇒ l = ----- l sin α r-= tg α ⇒ h = -r--. h tgα

Zapiszmy podaną informację o stosunku pól.

2π πrl πl √---= 1------- = --- / : π 3 2 ⋅2r⋅ h h 2 --r- tgα sinα 1 √---= sinrα = ----- = cosα-= ----- 3 tgα sin α sin α cos α √ 3- co sα = ---. 2

Zatem ∘ α = 3 0 i kąt rozwarcia stożka jest równy ∘ 2α = 60 .

Sposób III

Zapiszmy podaną informację o stosunku pól (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z sinusem).

2π πrl 2πr √----= -12-------= ------- / : 2π 3 2l sin 2α lsin 2α 1 r √----= lsin-2α. 3

Zauważmy, że ponadto

r l = sin α ⇒ r = lsin α.

Mamy zatem

-1-- ---r--- lsin-α- ----sin-α---- ---1--- √ 3-= lsin 2α = lsin 2α = 2 sin α cosα = 2 cosα √ -- --3- co sα = 2 .

Zatem α = 3 0∘ i kąt rozwarcia stożka jest równy 2α = 60∘ .
Odpowiedź: 60∘