Zadanie nr 9609892
Odległość środka wysokości stożka od jego powierzchni bocznej jest trzy razy mniejsza niż promień jego podstawy. Oblicz sinus kąta rozwarcia stożka.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku, od razu skupiamy się na przekroju osiowym.
Niech będzie środkiem wysokości i powiedzmy, że dzieli on wysokość na odcinki długości
. Oznaczmy też przez
odległość tego punktu od powierzchni bocznej stożka.
Sposób I
Zauważmy, że trójkąty i
są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku
. Są więc podobne. Mamy więc

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .

Mamy zatem

To jednak nie koniec, bo mamy wyliczyć , a nie
. Aby móc skorzystać ze wzoru

wyliczymy jeszcze .

Mamy więc

Sposób II
Z trójkąta prostokątnego mamy
, a trójkąt prostokątnego
mamy

W takim razie, korzystając z jedynki trygonometrycznej mamy

Stąd

Odpowiedź: