/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Różne

Zadanie nr 9746893

W danym okręgu o środku O poprowadzono cięciwy MN i KL , które przecięły się w punkcie A .

PIC

  • Wykaż, że trójkąty MLA i KAN są podobne.
  • Wiedząc, że |MN | = 30 cm ,|MA | : |AN | = 3 : 2 oraz |KA | : |AL | = 3 : 8 , oblicz długość cięciwy KL .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki KN i ML .

PIC

  • Ponieważ kąty KNM i KLM są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku, więc
    ∡KNM = ∡KLM .

    Podobnie, kąty NKL i NML są oparte na tym samym łuku, więc

    ∡NKL = ∡NML .

    Zatem

    ∡NKA = ∡AML i ∡KNA = ∡ALM .

    Ponieważ trójkąty mają dwa takie same kąty, więc muszą być podobne.

  • Ponieważ MA : AN = 3 : 2 , możemy oznaczyć MA = 3x i AN = 2x dla pewnego x . Wiemy ponadto, że
    3 0 = MN = MA + AN = 3x + 2x = 5x ⇒ x = 6.

    Zatem MA = 18 i AN = 12 .

    Korzystając z drugiej z podanych proporcji KA : AL = 3 : 8 , możemy oznaczyć KA = 3y i AL = 8y . Korzystamy teraz z podobieństwa trójkątów MLA i KAN .

    KA-- MA--- AN = AL 3y 18 ---= --- 12 8y y- 9-- 4 = 4y 2 y = 9 y = 3.

    Zatem

    KL = KA + AL = 3y + 8y = 11y = 33.

     
    Odpowiedź: |KL | = 33 cm

Wersja PDF